Fatoração útil

por **Willian Honorio** Dom 11 Jun 2017, 22:33

Olá, compartilharei aqui a demonstração de dois produtos notáveis que fatoram binômios do tipo x^n ± y^n , que é bastante útil em provas que requerem um domínio mais amplo de fatorações, e que economiza um bom tempo também. Que são elas:
$x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}.y+...+y^{n-1})\\x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-2}-x^{n-2}.y+...+y^{n-1})$
Primeiramente é necessário demonstrar a veracidade da seguinte igualdade apresentada:
$\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=1+a+a^{2}+...+a^{n-1}=\frac{a^{n}-1}{a-1}\\a\neq 1$
Multiplicando a primeira e a segunda igualdade por a e subtraindo pela segunda:
$a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+a^{3}...+a^{n}\\\\a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+...+a^{n}-(1+a+a^{2}+...+a^{n-1})\\\\a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+...+a^{n}-(1+a+a^{2}+...+a^{n-1})=\\\\a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+...+a^{n}-1-a-a^{2}-...-a^{n-1}\\\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}(a-1)=a^{n}-1\\\therefore \\\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=\frac{a^{n}-1}{a-1}$
A partir dessa, podemos fazer a seguinte substituição de variável:
$\forall\,\, a=\left (\frac{x}{y} \right )\,\,\Rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{n-1}\left (\frac{x}{y} \right )^{k}=\frac{\left (\frac{x}{y} \right )^{n}-1}{\left (\frac{x}{y} \right )-1}\\\\\sum_{k=0}^{n-1}\left (\frac{x}{y} \right )^{k}=\frac{\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n}}}{\frac{x-y}{y}}=\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}\\\\\\\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}=1+\left (\frac{x}{y} \right )+\left (\frac{x}{y} \right )^{2}+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1}=\\\\1+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-2}+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1}\\\\x^{n}-y^{n}=y^{n-1}(x-y)\left [ 1+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-2}+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1} \right ]$
$x^{n}-y^{n}=(x-y)[y^{n-1}+...+y^{n-1}\left (\frac{x}{y} \right )^{n-2}+y^{n-1}.\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1}]\\\\x^{n}-y^{n}=(x-y)(y^{n-1}+...+\underbrace{y^{n-1}.\frac{x^{n-2}}{y^{n-2}}}_{x^{n-2}.y} \underbrace{+y^{n-1}.\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}}}_{x^{n-1}})\\\therefore\\\\\boxed{x^{n}-y^{n} =(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}.y+...+y^{n-1})}$
E dessa última podemos escrever uma expressão para x^n+y^n, tomando valores de n inteiros positivos e ímpares:
$x^{n}-(-y)^{n}=\left [ x-(-y)\right ]\left [ x^{n-1}+x^{n-2}(-y)+...+(-y)^{n-1} \right ]\Rightarrow ...\\\\\boxed{x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}.y+...+y^{n-1})}\\\\CqD$

Dois exemplos práticos:
$x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}+x^{3}.y+x^{2}.y^{2}+x.y^{3}+y^{4})\\\\x^{5}+y^{5}=(x+y)(x^{4}-x^{3}.y+x^{2}.y^{2}-x.y^{3}+y^{4})$

A primeira soma pode ser provada pelo P.I.F, mas como subtrair é mais lacônico, preferi esta.

por igorrudolf Dom 11 Jun 2017, 23:12

Muito legal! Obrigado por compartilhar ! :bounce:

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