Fatoração útil
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Fatoração útil
Olá, compartilharei aqui a demonstração de dois produtos notáveis que fatoram binômios do tipo x^n ± y^n , que é bastante útil em provas que requerem um domínio mais amplo de fatorações, e que economiza um bom tempo também. Que são elas:
Primeiramente é necessário demonstrar a veracidade da seguinte igualdade apresentada:

Multiplicando a primeira e a segunda igualdade por a e subtraindo pela segunda:
\\\\a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+...+a^{n}-(1+a+a^{2}+...+a^{n-1})=\\\\a.\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=a+a^{2}+...+a^{n}-1-a-a^{2}-...-a^{n-1}\\\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}(a-1)=a^{n}-1\\\therefore&space;\\\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}=\frac{a^{n}-1}{a-1})
A partir dessa, podemos fazer a seguinte substituição de variável:
![\forall\,\, a=\left (\frac{x}{y} \right )\,\,\Rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{n-1}\left (\frac{x}{y} \right )^{k}=\frac{\left (\frac{x}{y} \right )^{n}-1}{\left (\frac{x}{y} \right )-1}\\\\\sum_{k=0}^{n-1}\left (\frac{x}{y} \right )^{k}=\frac{\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n}}}{\frac{x-y}{y}}=\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}\\\\\\\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}=1+\left (\frac{x}{y} \right )+\left (\frac{x}{y} \right )^{2}+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1}=\\\\1+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-2}+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1}\\\\x^{n}-y^{n}=y^{n-1}(x-y)\left [ 1+...+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-2}+\left (\frac{x}{y} \right )^{n-1} \right ]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall\,\,&space;a=\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)\,\,\Rightarrow&space;\,\,\sum_{k=0}^{n-1}\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{k}=\frac{\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n}-1}{\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)-1}\\\\\sum_{k=0}^{n-1}\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{k}=\frac{\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n}}}{\frac{x-y}{y}}=\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}\\\\\\\frac{x^{n}-y^{n}}{y^{n-1}(x-y)}=1+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{2}+...+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n-1}=\\\\1+...+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n-2}+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n-1}\\\\x^{n}-y^{n}=y^{n-1}(x-y)\left&space;[&space;1+...+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n-2}+\left&space;(\frac{x}{y}&space;\right&space;)^{n-1}&space;\right&space;])
E dessa última podemos escrever uma expressão para x^n+y^n, tomando valores de n inteiros positivos e ímpares:
![x^{n}-(-y)^{n}=\left [ x-(-y)\right ]\left [ x^{n-1}+x^{n-2}(-y)+...+(-y)^{n-1} \right ]\Rightarrow ...\\\\\boxed{x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}.y+...+y^{n-1})}\\\\CqD](https://latex.codecogs.com/gif.latex?x^{n}-(-y)^{n}=\left&space;[&space;x-(-y)\right&space;]\left&space;[&space;x^{n-1}+x^{n-2}(-y)+...+(-y)^{n-1}&space;\right&space;]\Rightarrow&space;...\\\\\boxed{x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}.y+...+y^{n-1})}\\\\CqD)
Dois exemplos práticos:
(x^{4}+x^{3}.y+x^{2}.y^{2}+x.y^{3}+y^{4})\\\\x^{5}+y^{5}=(x+y)(x^{4}-x^{3}.y+x^{2}.y^{2}-x.y^{3}+y^{4}))
A primeira soma pode ser provada pelo P.I.F, mas como subtrair é mais lacônico, preferi esta.
Primeiramente é necessário demonstrar a veracidade da seguinte igualdade apresentada:
Multiplicando a primeira e a segunda igualdade por a e subtraindo pela segunda:
A partir dessa, podemos fazer a seguinte substituição de variável:
E dessa última podemos escrever uma expressão para x^n+y^n, tomando valores de n inteiros positivos e ímpares:
Dois exemplos práticos:
A primeira soma pode ser provada pelo P.I.F, mas como subtrair é mais lacônico, preferi esta.
Última edição por Willian Honorio em Seg 12 Jun 2017, 12:21, editado 1 vez(es)
Willian Honorio- Matador
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Re: Fatoração útil
Muito legal! Obrigado por compartilhar ! :bounce:
igorrudolf- Jedi
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