Intervalos crescentes e decrescentes

por **Pietro di Bernadone** Dom 24 Out 2010, 15:30

Boa tarde prezados!

Dada a função abaixo, encontre os intervalos onde ela é crescente e aqueles onde ela é decrescente. Esboce o gráfico.

$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x-2)^2-3,\,se\,x\leq 5, \\ \frac{1}{2}(x+7),\,se\,x>5 \end{matrix}\right.$

Por favor, explique todo o procedimento usado na resolução (enquanto mais detalhado, melhor!).

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **JoaoGabriel** Dom 24 Out 2010, 16:12

Olá Pietro di Bernadone.
Para facilitar os cálculos, vamos dividir as funções:
A primeira, sendo $x \leq 5}$ será f(x)' e a outra será f(x)''.

Analisando f(x)':

É o quadrado da diferença:
Desenvolvendo fica:
$x^2 -(-4x) + 4 - 3$

$f(x)' = x^2 + 4x +1$

Como ela é quadrática (2º Grau), ela será crescente e decrescente em relação ao VÉRTICE.

Calculando o X do vértice:

Ele se dá por $\frac {-b}{2a}$

$Xv = \frac {-4}{2}$

$Xv = -2$

O Y do vértice se dá por :

$Yv = \frac {-\Delta}{4a}$

$Yv = -\frac {16 - 4}{4}$

$Yv = -3$

O gráfico desta função deve ser algo assim:

(Desculpe pelo amadorismo, foi feito no Paint)

Intervalos crescentes e decrescentes Grfico1

Intervalos crescentes e decrescentes Grfico1

Logo ela será decrescente para qualquer X < -2 e será crescente para qualquer X >- 2. Agora é simplesmente passar para a linguagem matemática.

Qualquer erro façam a correção.

Agora a segunda função:

$f(x)'' = \frac {x+7}{2}$

Como ela é do 1º Grau (Afim) não há vértice; logo ela será crescente ou decrescente dependendo do valor de 'a'.
a> 0, crescente;
a< 0 , decrescente.

Como o a é maior que zero, já concluímos que ela é crescente para qualquer $x \in \Re$

O gráfico desta é muito simples, basta atribuir dois ou mais valores a x, encontrar o valor correspondente a y e traçar a reta. Creio que você consiga fazer isso.

Como a função f(x)'' irá crescer sempre, o intervalo será:

>Crescente: $]-2,+\infty[$

>Decrescente $]-\infty,-2[$

Creio que seja isso. Se estiver errado, por favor corrijam.

Abraços.

por thiago.basto Qua 27 Out 2010, 13:24

Desculpa amigo, mas eu acho que você errou na seguinte parte:

Analisando f(x)': você disse que o quadrado da diferença seria x² - (-4x) + 4 = x² + 4x + 4.

O correto não seria (x-2)² = x² -4x + 4 Question

Só fiz essa observação para tirar a dúvida. E se estiver errado, para que você corrija, facilitando a compreensão de todos. Obrigado.

por **JoaoGabriel** Qua 27 Out 2010, 13:28

Olá meu caro,
eu não errei não, pelo menos acho que não, porque preste atenção ao enunciado:
a primeira função é :
(x - 2)² - 3,
logo fica x² + 4x +4 - 3
x² +4x +1

Acho que é isso, vc se esqueceu do -3

Abraços

por **Euclides** Qua 27 Out 2010, 13:47

Correção

$\bg_white (x-2)^2-3=(x^2-4x+4)-3\to {\color{red}x^2-4x+1}$

assim o vértice está em $\bg_white x_v=2$

o gráfico

Intervalos crescentes e decrescentes Trikn