Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada

por Ivoski Sáb Out 16 2010, 22:49

Ola, sera que vc nao poderia me ajudar a resolver esta questao?
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo
eixo x e pela curva Y = x sen x, 0 ≤ x ≤ π, em torno

a) do eixo y
b) da reta x = π
c) do eixo x
d) da reta y=5

se puder vir com a resolução para um meu melhor entendimento obrigado

por **Euclides** Dom Out 17 2010, 00:52

$\\Em\,\,t\hat{o}rno\,\,de\,\,Ox\to \fbox{V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx}\\\\Em\,\,t\hat{o}rno\,\,de\,\,Oy\to \fbox{V=2\pi\int_{a}^{b}x.f(x)\,dx}$

a) em tôrno de Oy (método das cascas cilíndricas)

$\\V=2\pi\int_{0}^{\pi}x^2.sen(x)\,dx$

$\\1)\,\,x^2=u\to du=2x\\ .\,\,\,\,sen(x)=dv\to v=-cos(x)\\\\2\pi\int_{0}^{\pi}x^2.sen(x)dx=2\pi\left (-x^2cos(x)+\int_{0}^{\pi}2xcos(x)dx \right )$

$\\2)\,\,2x=u\to du=2\\ .\,\,\,\,cos(x)=dv\to v=sen(x)\\\\\int_{0}^{\pi}2x.cos(x)dx=2xsen(x)-2\int_{0}^{\pi}sen(x)dx$

$\\3)\,\,2\pi\int_{0}^{\pi}x^2.sen(x)dx=2\pi\left (-x^2cos(x)+2xsen(x)+2cos(x) \right )/_0^{\pi}\\\\.\,\,2\pi\int_{0}^{\pi}x^2.sen(x)dx={\color{red}\left 2\pi(2xsen(x)-cos(x)(x^2-2)\right)/_0^{\pi}}$

resta agora efetuar o cálculo entre zero e pi

O exercício é muito longo e as integrais são uma "mão-de-obra" muito grande. Por isso vou contribuir com a parte acima. Espero que outros também contribuam.

por **Euclides** Seg Out 18 2010, 19:12

Rotação em tôrno de uma reta vertical

Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada Trikc

Rotação em tôrno de uma reta horizontall

Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada Trikm

por Ivoski Seg Out 18 2010, 20:44

Entao ficaria assim?
$\\Em\,\,t\hat{o}rno\,\,de\,\,Ox\to \fbox{V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx}\\\\Em\,\,t\hat{o}rno\,\,de\,\,x=\pi\to \fbox{V=2\pi\int_{0}^{\pi}x-pi\.f(x)\,dx}$
em torno de y = 5 qual seria o limite de integração?
estas integrais da pra melhorar?

por **Euclides** Seg Out 18 2010, 21:00

os limites de integração são

$\int_{0}^{\pi}$

As integrais podem ser trabalhosas experimente o Wolfran

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int[xsin%28x%29-5]^2+dx

clique em show steps para ver o desenvolvimento.