Sólido gerado pela rotação

por mhope Sex 29 Mar 2024, 19:35

Considere a região E do plano cartesiano dada por

{y+x≤ 3
E={y+x≥ 1
{x≥ 0
{y≥ 0
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270º em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a:

gabarito:13∏/2

*o latex não funcionou para colocar a expressão toda em uma chave só

por **Giovana Martins** Sex 29 Mar 2024, 19:58

Primeiramente, façamos as intersecções das regiões delimitadas de acordo com as inequações. A região E é a região mais escura e que corresponde à intersecção das quatro inequações (região na qual as 4 inequações são satisfeitas).

Apenas para facilitar a visualização da região E, veja a região hachurada adiante.

A rotação da região E gera dois cones, os quais, subtraídos um do outro em termos de volume, resultam no volume do sólido solicitado. O fator 3/4 corresponde a rotação de 270°, a qual corresponde a 75% de uma rotação completa.

[latex]\\\mathrm{V=V_1-V_2=\frac{3}{4}\times \left [\frac{1}{3}\times \pi \times ( 3 ) ^2\times 3-\frac{1}{3}\times \pi \times ( 1 ) ^2\times 1 \right ]=\frac{13\pi }{2}}[/latex]