Volume de um Sólido gerado pela revolução

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da área delimitada pelas curvas y^2 -2y +1= x e x=1 em torno do eixo Ox.

Medeiros, se a revolução é em torno do eixo x deve-se integrar π[f(x)]² com limitantes x=0 e x=1. Sendo x=(y-1)², então y=f(x)=√(x)+1 (parte positiva). Assim:
(Edit: Solução incorreta, a correta é a do Medeiros mesmo)

Mauk
calculei a área entre a parábola e o eixo y mediante integração de f(y).dy.
A área do retângulo é base*altura = 2. E a da região que nos interessa é a do retângulo menos a da parábola.
A rotação em torno do eixo x dá-se com um raio igual a 1 do eixo ao baricentro da área.

Medeiros, realmente cometi um erro ao considerar a área a esquerda da parábola quando o problema se refere a área entre a parábola e a reta. Foi mal, desatenção da minha parte. Mas esse seu método de multiplicar a área pela circunferência só estaria correto se o sólido tivesse duas bases de área A e altura 2πr, e não para um sólido obtido pela rotação dessa área A em torno de uma reta.

Mauk

Acho mais fácil o modo que fiz por entende-lo mais simples.

Quanto a técnica que você usou vou dizer como entendo que deve ser feito e você julga se acha correto ou não.
Trabalhando com y = f(x) para integrar sobre o eixo das abscissas devemos observar que são duas funções:
x = (y - 1)²  ----->  y1 = +√x + 1 ...........e......... y2 = -√x + 1
A integração de cada uma fornece a área entre a curva e o eixo x. A área que nos interessa -- e a partir da qual extraímos o volume -- deve ser a diferença.


Fazendo as contas, obtemos:


E este resultado concorda com o meu!!


Ah, e acredite, o método que usei, do jeito que usei, é correto e com certeza você ainda vai vê-lo na escola.

Medeiros, realmente vc tem razão, me desculpe. Eu havia cometido outra desatenção quando desconsiderei a parte y=-√(x)+1 do gráfico, agora que refiz vi que realmente a resposta é 8pi/3.
Porém não conheço o primeiro método utilizado por vc (da circunferência), já cursei as disciplinas de cálculo a um tempinho e não me lembro de ter aprendido algo sobre isso. Vc saberia dizer o nome desse método?

Seria esse o método das cascas cilíndricas?

Todos têm direito a se enganar, portanto desculpas não são necessárias. Quem não age, nada faz, não se engana, engana a si.
Sou ruim de nomes. Às vezes sei usar alguma ferramenta de cálculo mas não tenho a menor ideia do nome. Entretanto sei o nome desta que usei, não é do cálculo, chama-se bom senso.

Este método é útil se e somente se conhecemos o baricentro da área (qualquer área). Usava direto na faculdade na disciplina de mecânica, onde vivemos às voltas com o centro de gravidade das figuras.

Imagine que você tem em mãos uma argola de diâmetro interno 19 e espessura circular com diâmetro 1. Como você calcula o volume da argola? Claro que é como se fosse um cilindro: área da secção ( pi×(1/2)² ) vezes o comprimento ( 2×pi×10 ) -- resposta: V = 5×pi².
Este é o método! Ainda que a área seja obtida mediante integração.

Desvantagem: precisa saber a que distância o baricentro está do eixo de rotação.

Vantagem: o eixo pode ser uma reta qualquer. Exemplo: calcule o volume do toróide obtido pela rotação da elipse E ( 9x² + 16y² - 18 x - 54y + 441 = 0 ) em torno da reta r ( 4x - 3y + 6 = 0 ). Solução:
E: 9x² + 16y² - 18 x - 54y + 441 = 0 -----> (x-7)²/16 + (y-3)²/9 = 1
centro C(7, 3) -- este é o baricentro
semi-eixos: a = 4, b = 3
área da elipse: A = pi*a*b = 12.pi
d(C, r) = r = 5
volume: V = 2*pi*r*A = 2*pi*5*12.pi = 120.pi
E se você fosse fazer isto por integral, como faria? Ou, suponha que no lugar da elipse você tenha duas parábolas simétricas ( y = x² - 14x + 51 ) e ( y = -x² + 14x - 45 ). Achar a área é fácil, e quanto a rotação?

Muito obrigado pela informação Medeiros, certamente simplifica bastante a resolução de vários exercícios. E o pedido de desculpa foi por ter sido precipitado e arrogante em invalidar o método utilizado por vc sem antes pesquisar.
Abraço!