[ Aritmética ]

Seja o número N:
Dividido por 3 deixa resto 2
Dividido por 5 deixa resto 3
Dividido por 7 deixa resto 5
Podemos dizer que o número pode ser escrito como:
N = 3k + 2
N = 5m + 3
N = 7n + 5
Igualando o primeiro ao segundo temos:
3k+2=5m+3 ---> 3k-5m=1
Agora, podemos ver que um multiplo de 5, subtraido um multiplo de 3 que dê um:
Multiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 25, 30...
Multiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, ...
Podemos verificar que 10-9 = 1, e então, m=1, k=2:
N= 3 . 2 + 2 = 8
N = 5 . 1 + 3 = 8
Ora, mas esse número não deixa resto 5 quando dividido por 7. Então podemos fazer o seguinte:
N = mmc(3, 5) + 8 = 15q + 8
Agora, igualamos:
15q+8 = 7n+5 ---> 7n - 15n = 3
Multiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105...
Multiplos de 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105...
Podemos verificar que 63-60 =3, e então, q=4, n=9:
N = 15 . 4 + 8 = 68
N = 7 . 9 + 5 = 68

Logo, o menor número é 68:
Podemos verificar:
68 = 66 + 2 = 3 . 22 + 2
68 = 65 + 3 = 5 . 13 + 3
68 = 63 + 5 = 9 . 7 + 5