Trigonometria

Encontre todos os pontos do gráfico da função f(x) = sen²x + cosx, em que a reta tangente é paralela ao eixo x.


Resposta : x =± 2∏/3 + 2k∏

f(x) = sen²x + cosx ---> Derivando:

f '(x) = 2.senx.cosx - senx ---> Reta tangente // eixo x ---> f '(x) = 0

2.senx.cosx - senx = 0 ---> senx.(2.cosx - 1) = 0

Temos duas possibilidades: senx = 0 e 2.cosx - 1 = 0

Complete

Olá Elcioschin. Queria saber se essa questão tem como fazer de outro jeito sem usar derivadas. Vi ela aqui no FME e não sei nada de derivadas .

Grato pela atenção.

Um outro provável caminho seria:

f(x) = y = sen²x + cosx ---> f(x) = (1 - cos²x) + cosx ---> f(x) = - cos²x + cosx + 1

Temos uma parábola com a concavidade voltada para baixo: o valor máximo ocorre no vértice:

(cosx)V = - 1/2.(-1) ---> (cosx)V = 1/2 ---> x = pi/3 ou x = 5pi/3 (na 1ª volta)

Acontece que esta solução não contempla todos os valores de x que satisfazem:

Pela derivada achamos:

a) senx = 0 ---> x = 0 ou x = pi (na 1ª volta) ---> x = k.pi

b)2.cosx - 1 ---> cosx = 1/2 ---> x = pi/3 ou x = 5.pi/3 (na 1ª volta ---> x = 2.k.pi ± pi/3

Veja que esta solução tem 4 raízes na 1ª volta enquanto que a solução da parábola tem apenas duas soluções.

Note que o gabarito não está correto, com base nas soluções apresentadas. Caso você duvide entre no Wolfram e digite a equação para ver o gráfico.

obrigado!!   não duvido que o meu gabarito esteja errado.