Simplificação

por Tiomatheus1391 Seg 09 Fev 2015, 20:59

$\frac{\sqrt{x- \sqrt{4(x-1)}} + \sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^{2}-4(x-1)}} (1 - \frac{1}{x-1})$

Gabarito:

$1<x<2 .... \frac{2}{1-x}$

$x>2 ... \frac{2}{\sqrt{x-1}}$

por **Carlos Adir** Seg 09 Fev 2015, 22:26

Primeira coisa, vamos determinar a condição de existência:
$\begin{cases}x-1>0 \\ x^2-4(x-1) > 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>1 \\ x \ne 2\end{cases}$
Podemos escrever então:
$\\a = \sqrt{x-1} \\ 1^o) \ \ \sqrt{x-2a}+\sqrt{x+2a}=\sqrt{\left(\sqrt{x-2a}+\sqrt{x+2a} \right )^2}= \\= \sqrt{(x-2a+x+2a)+2\sqrt{\left(x-2a \right )\left(x+2a \right )}}= \\=\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-4a^2}}=\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-4x+4}}= \\=\sqrt{2x+2\left|x-2 \right |}$

Então, a expressão original podemos escrever como:
$\\ \dfrac{\sqrt{2x+2|x-2|}}{\sqrt{x^2-4x+4}}\left(1-\dfrac{1}{x-1} \right ) = \dfrac{\sqrt{2x+2|x-2|}}{\sqrt{\left(x-2 \right )^2}}\left(\dfrac{x-1-1}{x-1} \right ) = \\ = \dfrac{\sqrt{2x+2|x-2|}}{|x-2|} \cdot \dfrac{x-2}{x-1}$
Agora, basta apenas simplificar os módulos:
$\\ \dfrac{\sqrt{2x+2|x-2|}}{|x-2|} \cdot \dfrac{x-2}{x-1} \\ 1^o) \ \ 1<x<2 \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2x+2\left(2-x \right )}}{2-x}\cdot \dfrac{x-2}{x-1} = \dfrac{2}{1-x} \\ 2^o) \ \ 2<x \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2x+2(x-2)}}{x-2}\cdot \dfrac{x-2}{x-1}=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$

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