Equação modular

por Tiomatheus1391 Dom 08 Fev 2015, 18:03

Resolva a equação para cada valor real de $\alpha$

x²-|x|+ $\alpha$ =0

Gabarito
$\alpha$ >0 --> S={}
$\alpha$ =0 --> S={0}
$\alpha$ <0 --> $S={\pm \frac{1}{2}(-1+\sqrt{1-4a})}$

por **Carlos Adir** Dom 08 Fev 2015, 19:18

$\\ x^2-|x|+\alpha=0 \\ \left(|x| \right )^2-\left(|x| \right )+\alpha=0 \\ Se \ |x|=y \ entao: \\ y^2-y+\alpha=0 \\ 1) Se \ nao \ tem \ raiz \Rightarrow \Delta<0 \\ 2) \ Se \ tem \ uma \ raiz \Rightarrow \Delta = 0 \\ 3) \ Se \ tem \ duas \ raizes \Rightarrow \Delta >0 \\ \Delta = \left(-1 \right )^2-4 \alpha = 1-4\alpha \\ 1) \ 1 < 4\alpha \Rightarrow \alpha > \dfrac{1}{4} \\ 2) \ 1 = 4\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{1}{4} \\ \ 3) \ 1 > 4 \alpha \Rightarrow \alpha < \dfrac{1}{4}$

Ou seja, se α>1/4 então não há solução para a equação, então a solução é vazia.
Agora para os outros dois casos:
$\\ 2) \ y=\dfrac{1\pm \sqrt{0}}{2} \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{1}{2} \\ 3) \ y=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4a}}{2}$
Nesta terceira temos que tomar cuidado, y deve ser sempre positivo, então a parte de cima nunca deve ser negativa. Então, para o caso negativo:
$1 - \sqrt{1-4a}> 0 \Rightarrow 1 > 1 - 4a \Rightarrow a>0$
Então vamos dividir em outros 2 casos:
$\\ 3.1 ) \ 0 < a < \dfrac{1}{4} \\ 3.2) \ a<0 \\ 3.1 \Rightarrow y=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4a}}{2} \\ 3.2 \Rightarrow y=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} \Rightarrow x = \pm \left(\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} \right )$

Ou seja, a resposta é então:
$\\ a>\dfrac{1}{4} \Rightarrow S=\left\{ \right \} \\ a = \dfrac{1}{4} \Rightarrow S=\left\{-\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{2} \right \} \\ 0<a<\dfrac{1}{4} \Rightarrow S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}, \ \dfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}, \ \dfrac{1-\sqrt{1-4a}}{2}, \ \dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} \right \} \\ a=0 \Rightarrow S=\left\{-1, \ 0, \ 1 \right \} \\ a<0 \Rightarrow S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}, \ \dfrac{1+\sqrt{1-4a}}{2} \right \}$

por Tiomatheus1391 Seg 09 Fev 2015, 20:28

Muito obrigado Very Happy

Ajudou muito, mas por que o y não pode ser negativo ?

por **Carlos Adir** Seg 09 Fev 2015, 20:57

Terceira linha:
|x|=y
Módulo é sempre positivo.

por Matheus Aragão. Seg 09 Fev 2015, 21:57

modulo nem sempre eh positivo , modulo de 0 eh zero mas zero nao eh positivo nem negativo ,

por Tiomatheus1391 Ter 10 Fev 2015, 23:36

Fica até com vergonha de perguntar ...
Poderia explicar pq não considerar $1-\sqrt{1-4a}\geq 0$ ?

por **Carlos Adir** Qua 11 Fev 2015, 14:09

Tranquilo, pode perguntar.
Equação modular ETKPEb2

Temos que substituimos o módulo de x por y. Ou seja, o y não pode ser negativo, porque o módulo de x não pode ser negativo.
Deste modo, quando 1-√(1-4a) é negativo, então o módulo será negativo, o que é um absurdo.