Iezzi 3 volumes razões na circunferência exercício 27

Com base na figura abaixo, que representa o ciclo trigonométrico e os eixos da tangente e da cotangente:

a) calcule a área do triângulo ABC, para α = π/3
b) determine a area do triângulo ABC, em função de α, π/4 < α < π/2.

Gabarito: a) (2√3/3) -1
b) -1 + 1/2sen α* cos α



Minha resolução:
Triângulo ABC é semelhante ao triângulo CDE com d no centro da circunferência e E no ponto 0 ou 2π radianos.

(√3/3)/((√3/3) -1) = 1/AB
(√3/3)/(√3-3/3) = 1/AB
(√3/3)*3/(√3-3) = 1/AB
(√3)/(√3-3) = 1/AB
(√3)AB = √3-3
AB = (√3-3)/√3
AB = 3-3√3/3
AB = 1 - √3

A área do triângulo ABC é dada por:

(AB * CB)/2
(1 - √3)*((√3/3)-1)*1/2
(1 - √3)*(√3-3/3)*1/2
(√3 -3-3+3√3)/3*1/2
(4√3-6)/6
2√3-3/3
(2√3/3) - 1

B) Em função de alfa, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo CDE, então:

tg α/tg α -1 = 1/AB

AB = tg α -1 / tg α

BC = tg α - 1

A área do triângulo ABC em função de alfa é dado por AB* BC /2

Então:

(tg α-1)*(tg α-1)/(tg α)*1/2

Giovana Martins escreveu:

Poste a figura, por favor, Bruno.

Editei.

AB = 1 - cotga ---> BC = tga - 1

S = AB.BC/2

Elcioschin escreveu:AB = 1 - cotga ---> BC = tga - 1

S = AB.BC/2

Se eu colocasse na prova pra letra b: (tg α-1)*(tg α-1)/(tg α)*1/2. Eles iriam dar como certa?

brunoriboli escreveu:

Elcioschin escreveu:AB = 1 - cotga ---> BC = tga - 1

S = AB.BC/2

Se eu colocasse na prova pra letra b: (tg α-1)*(tg α-1)/(tg α)*1/2. Eles iriam dar como certa?

Creio que sim, dado que o enunciado pede a resposta em função de α.

brunoriboli escreveu:Se eu colocasse na prova pra letra b: (tg α-1)*(tg α-1)/(tg α)*1/2. Eles iriam dar como certa?

Não.
Note que para \(\alpha=\pi/3=60ª \), cujo valor está dentro da faixa \(\pi/4<\alpha<\pi2 \), devemos ter resposta com mesmo valor do item (a). No entanto, substituindo \(\alpha=60º\) na eq. da sua resposta o valor é diferente.

(a) para \(\,\,\alpha=\pi/3=60º\)

\(S=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{2}\cdot (1-ctg\alpha)(tg\alpha-1)\)
\(S=\frac{1}{2}.(1-\frac{1}{\sqrt{3}})(\sqrt{3}-1)=\frac{1}{2}.(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})(\sqrt{3}-1) \)
\(S=\frac{3+1-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\(\therefore\,\, S=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1 \, ≈\ 0,1547 \)


(b) para \(\,\,\pi/4<\alpha<\pi/2\)

Devemos considerar o ângulo \(\angle ACB=90º-\alpha\). E iremos calcular a área pela fórmula S=(1/2).BC.AC.sen(90º-α) . Lembrando que AB=(1-ctgα) e BC=(tgα-1).

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 =(1-\frac{cos\alpha}{sen\alpha})^2+(\frac{sen\alpha}{cos\alpha}-1)^2 \)
\(AC^2=1+\frac{cos^2\alpha}{sen^2\alpha}-2\frac{cos\alpha}{sen\alpha}+\frac{sen^2\alpha}{cos^2\alpha}+1-2\frac{sen\alpha}{cos\alpha} \)
\(AC^2=\frac{sen^2\alpha+cos^2\alpha}{sen^2\alpha}-2\frac{cos\alpha}{sen\alpha}+\frac{sen^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}-2\frac{sen\alpha}{cos\alpha}  \)
\(AC^2=\frac{cos^2\alpha-2 sen\alpha.cos^3\alpha+sen^2\alpha-2 sen^3\alpha.cos\alpha}{sen^2\alpha.cos^2\alpha} \)
\(AC^2=\frac{1-2.sen\alpha.cos^3\alpha-2.sen^3\alpha.cos\alpha}{sen^2\alpha.cos^2\alpha} \)
\(AC^2=\frac{1-2.sen\alpha.cos\alpha.(cos^2\alpha+sen^2\alpha)}{sen^2\alpha.cos^2\alpha} \)
\(\therefore\,\,AC=\frac{\sqrt{1-2.sen\alpha.cos\alpha}}{sen\alpha.cos\alpha}\)


\(S=\frac{1}{2}.(\frac{sen\alpha}{cos\alpha}-1)(\frac{\sqrt{1-2sen\alpha cos\alpha}}{sen\alpha \cancel{cos\alpha}}).\cancel{cos\alpha} \)
\(S=\frac{1}{2}\cdot \frac{sen\alpha-cos\alpha}{cos\alpha}\cdot \frac{\sqrt{1-2sen\alpha cos\alpha}}{sen\alpha}\)
\(S=\frac{\sqrt{(sen^2\alpha+cos^2\alpha-2sen\alpha cos\alpha)(1-2sen\alpha cos\alpha)}}{sen2\alpha}\)
\(S=\frac{\sqrt{(1-sen2\alpha)^2}}{sen2\alpha}=\frac{1-sen2\alpha}{sen2\alpha}\)
\(\therefore\,\, S=\frac{1}{sen2\alpha}-1=-1+\frac{1}{2sen\alpha cos\alpha}\)