Qual o perimetro de ABC ?

por "S.H" Qua 16 Jul 2014, 15:39

Vocês podem me ajudar na resolução dessa questão ?

Como ele me deu o ângulo externo,eu sei que meu Â é 30° e meu C = 120°.

A altura deste triangulo,se não estiver enganado,ela está do "lado de fora",usando a tg de 30° sei que: H = b √ 3/3.

Como a área total foi dada,eu sei que b x h = 50 √ 3. Substituindo H em função de b,tenho que b = 5 √ 6 e h = 5 √ 2.

Agora preciso descobrir o lado AC,usei sen60° e achei AC = 10 √ 6/3.

Para achar o lado AB,aplique lei dos cossenos e lei do seno,sem sucesso.O que há de errado ?

por blue lock Qua 16 Jul 2014, 17:32

O ângulo em C é 120º, a partir disso você descobre que o ângulo em B e em A são 30º, portanto BC e AC possuem a mesma medida (vamos chamá-la de y).

A área do triângulo é fornecida, utilizando-se da fórmula de área neste caso, temos: S = a . b . sen120 / 2

onde S é a área e os lados que o compreendem sendo a e b. Na questão teriamos 25sqtr3 = y . y . sen120 / 2

25sqtr3 = y² . sqtr3/2 / 2
100sqtr3 = y² . sqtr3
y² = 100
y = 10

Sabendo quanto vale BC e AC, aplique lei dos cossenos para conhecer o valor de AB.

k² = 100 + 100 - 200 (-1/2)
k² = 100 + 100 + 100
k² = 300
k² = 10sqtr3

sqtr3 = 1,7

AB = 17 ; BC = AC = 10.

AB + BC + AC = 37

por **raimundo pereira** Qua 16 Jul 2014, 17:44

por **ivomilton** Qua 16 Jul 2014, 17:47

EEAR 2014,FOCO NA MISSÃO! escreveu:

Vocês podem me ajudar na resolução dessa questão ?

Como ele me deu o ângulo externo,eu sei que meu Â é 30° e meu C = 120°.

A altura deste triângulo,se não estiver enganado,ela está do "lado de fora",usando a tg de 30° sei que: H = b √ 3/3.

Como a área total foi dada,eu sei que b x h = 50 √ 3. Substituindo H em função de b,tenho que b = 5 √ 6 e h = 5 √ 2.

Agora preciso descobrir o lado AC,usei sen60° e achei AC = 10 √ 6/3.

Para achar o lado AB,aplique lei dos cossenos e lei do seno,sem sucesso.O que há de errado ?

Boa tarde,

Onde o amigo escreveu "H=b√3/3", esse "b" é, na realidade, a medida de um triângulo ABD, onde D seria o pé da altura H. Correto? (analisa aí com calma que compreenderá).

Fiz assim:

Baixei uma perpendicular desde A até o prolongamento de BC para a direita, e identifiquei o pé da perpendicular com a letra D.

AD = H

AD/AB = sen 30°
H/AB = 1/2
AB = 2H

AD/BD = tg 30°
H/BD = √3/3
BD = 3H/√3 = 3H√3/3 = H√3

AD/CD = tg 60°
H/CD = √3

CD = H/√3
CD = H√3/3

Falta-nos BC e AC:

BC = BD - CD
BC = H√3 - H√3/3
BC = 2H√3/3

AD/AC = sen 60°
H/AC = √3/2
2H = AC√3
AC = 2H/√3
AC = 2H√3/3

(Note que BC=AC, mostrando que o triângulo ABC é isósceles)

Perímetro de ABC:
AB + BC + AC = 2H + 2H√3/3 + 2H√3/3 = H(2 + 4√3/3) ........ (I)

Finalmente falta-nos calcular a medida de H.
S(∆ABC) = BC*AD /2 = (2H√3/3 * H)/2
25√3 = H²√3/3 ---> cancelamos ambos os radicais e fica:
25 = H²/3
H² = 25*3 = 75
H = √75
H = 5√3 ........... (II)

Aplicando-se (II) em (I), obtém-se:

Perímetro = H(2 + 4√3/3) = (5√3)(6 + 4√3)/3 = (30√3 + 60)/3 = 10√3 + 20 = 10*1,7 + 20 = 17 + 20 = 37

Alternativa (a)

Um abraço.

por "S.H" Qua 16 Jul 2014, 18:01

a resposta correta é a letra A.Obrigado a todos que responderam,o interessante é que cada um resolveu de uma forma,isso me ajuda muito.Respondendo ao Sr.Ivo,infelizmente o meu "b" não era o pé da altura e sim o lado BC.Vou fazer conforme o senhor resolucionou,abraço.