Máximos

por **Jader** Sex 13 Jun 2014, 12:50

Determinar entre todos os triângulos de perímetro dado 2p aquele de área máxima.

por Man Utd Sáb 14 Jun 2014, 12:26

Olá

A questão não é dificil e sim trabalhosa.

temos que x,y e z são os lados do triângulo, então : $2p=x+y+z \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; z=2p-x-y$ , da fórmula de Heron :

$A(x,y,z)= \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}$

substituindo "z" na fórmula ficamos com :

$\\\\\\ A(x,y)= \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-(2p-x-y))} \\\\\\ A(x,y)= \sqrt{p(p-x)(p-y)(x+y-p)}$

Faça as derivadas parciais $\\\\\\ \frac{\partial A}{\partial x} \;\;\;\; \wedge \;\;\;\; \frac{\partial A}{\partial y}$ igualem ambas derivadas a zero e resolva o sistema formado pelas mesmas.Vc terá como resposta : $\\\\\\ x=\frac{2p}{3} \;\;\; , \;\;\; y=\frac{2p}{3} \;\;\; , \;\;\;\; z=\frac{2p}{3}$ isto é um triângulo equilatero, calcule a área para terminar.

PS: para ter a certeza que a resposta realmente são pontos de máximos pode aplicar a Matriz Hessiana.

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