Máximos e Mínimos

Dada a curva ax^2 - 4a^2x + 2a^2 + 8a + 5 = y, sendo"a"diferente de 0

Descubra o valor de a que maximiza o valor mínimo dessa curva.

Meu desenvolvimento:


Sendo y = f(x), f'(x) = 2ax - 4a^2

Quando f'(x) = 0: 2ax - 4a^2 = 0

4a^2 = 2ax

x = 4a^2/2a

x = 2a

Portanto o valor mínimo ocorre em f(2a) = 4a^3 - 8a^3 + 2a^2 + 8a + 5.

Daí, para maximizar o valor mínimo, devemos encontrar o valor de "a" que se aplica a essa condição..

Sendo g(a) = 4a^3 - 8a^3 + 2a^2 + 8a + 5, precisamos achar o valor máximo da função.

g(a) = -4a^3  + 2a^2 + 8a + 5

Derivando:

-12a^2 +4a + 8 = g'(a)

Encontrando os valores dos extremos da curva:

-12a^2 +4a + 8 = 0 ( dividindo por -4):

3a^2 - a - 2 = 0

a = 1; -2/3

Nesse caso, a curva g(a) desce até a = -2/3, sobe até a = 1 e torna a descer para a>1.

Bem, na minha resolução, não encontreium valor máximo... É que quando a -> -օօ, o valor de g(a) tende a se tornar cada vez maior..

Daí, não sei qual valor eu atribuo a "a".

Seria a = 1, por nesse ponto ocorrer um valor máximo relativo de 11?

Agradeço desde já qualquer eventual resposta..

Se a > 0 --> a=1
Se a < 0 --> a=-2/3