Máximos e Mínimos

por Diegomedbh Qua 22 Ago 2012, 19:57

Um triângulo isósceles esta circunscrito a um círculo de raio R. Se x é altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando x=3R.

Por favor, podem explicar detalhadamente!

por **Euclides** Qui 23 Ago 2012, 18:44

Você só deve encarar esse tipo de exercício se não tiver mais dificuldades no cálculo das derivadas.

Façamos uma análise preliminar sobre como podem variar base e altura do triângulo em função do raio da circunferência e como isso afeta a área do triângulo:

Máximos e Mínimos Rayeck

as relações expressas na figura acima nos indicam que, se houver, um ponto crítico será necessariamente um ponto de mínimo dispensando outras análises na derivada segunda.

Para estabelecer uma expressão da área que relacione a altura e o raio nos basearemos na figura seguinte

Máximos e Mínimos Pluf

chegaremos então a

$\\A=\frac{h^2r}{\sqrt{h^2-2hr}}$

derivando a função na variável h

$\\A'=\frac{h^3r-3h^2r^2}{{h^2-2hr}}$

buscando um mínimo

$\\h^3r-3h^2r^2=0\\h^2(hr-3r^2)=0\\\\h=0\text{ não é solução}\\\\h=3r\\\\cqd$

por Diegomedbh Qui 23 Ago 2012, 21:07

Euclides escreveu:Você só deve encarar esse tipo de exercício se não tiver mais dificuldades no cálculo das derivadas.

Nossa! Ainda tenho dificuldades ôô se tenho. Não vou encarar não...

Olha só que eu tinha desenvolvido:

Máximos e Mínimos Figura

A área do triângulo é dada por:

$A=b\cdot X$ , mas vamos minimizar a área ao quadrado, ou seja,

$\Delta AHB \sim \Delta AOD$

$\ \frac{b}{R}=\frac{\sqrt{X^2-2XR}}{X}\\\\ b=R\cdot \frac{\sqrt{X^2-2XR}}{X}\\\\ A^2=R^2\cdot (X^2-2XR)\\\\ A^2=X^2R^2-2XR^3$

Obrigado Euclides!

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