(ITA-1961) Um satélite artificial de 4,00 x 103 kg está

O período de rotação da Terra: um dia, em segundos.
\[T_\text{T}=24\times 60\times 60=86400~\text{s}\]
A velocidade tangencial da Terra no equador, lembrando de transformar o raio da Terra de quilômetros para metros.

Vamos assumir a aproximação \(\pi=3,\!14\) ao longo do exercício.
\[v_\text{T}=\omega_\text{T} R_\text{T}=\frac{2\pi}{T_\text{T}}R_\text{T}=\frac{2\cdot3,\!14}{86400}\cdot 6,\!4\cdot10^6\simeq 465,\!2~\text{m/s}\]

Para calcular a velocidade do satélite, consideremos que a força gravitacional é a força resultante.
\[F_\text{res}=ma=\frac{GmM}{D^2}\]
A aceleração é centrípeta no movimento circular.
\[m\frac{v_\text{s}^2}{D}=\frac{GmM}{D^2}\]
\[v_\text{s}=\sqrt{\frac{GM}{D}}\]
onde \(M\) é a massa da Terra e \(D\) é a distância entre o centro da Terra e o satélite.

Uma conclusão parcial interessante: a velocidade orbital do satélite independe de sua massa; ela é função apenas da massa do astro orbitado e do raio da órbita.

O raio \(D\) é a soma do raio da Terra com a distância do satélite à superfície terrestre.
\[D=R_\text{T}+h=6,\!4\cdot 10^6 + 4\cdot 10^6=1,\!04\cdot10^7~\text{m}\]
Não temos a massa da Terra, mas temos a densidade e a informação de que o planeta é esférico.
\[\rho=\frac{M}{V}\]
\[M=\rho V\]
sendo \(\rho =5500~\text{kg/m}^3\) (convertendo a densidade de g/cm\(^3\) para kg/m\(^3\)) e \(V=\dfrac{4}{3}\pi R_\text{T}^3\).

Dessa forma, a expressão da velocidade fica:
\[v_\text{s}=\sqrt{\frac{GM}{D}}=\sqrt{\frac{4\pi \rho GR_\text{T}^3}{3D}}=\sqrt{\frac{4\cdot3,\!14\cdot5500\cdot6,\!7\cdot10^{-11}\cdot \left(6,\!4\cdot10^6\right)^3}{3\cdot1,\!04\cdot10^7}}\simeq 6236~\text{m/s}\]
As velocidades relativas quando o satélite gira:

• no mesmo sentido da Terra: \(v_\text{rel}=v_\text{s}-v_\text{T}=6236-465,\!2=5770,\!8~\text{m/s}\)
  
• no sentido contrário da Terra: \(v_\text{rel}=v_\text{s}+v_\text{T}=6236+465,\!2=6701,\!2~\text{m/s}\)
  

A energia total do satélite é a soma da energia cinética e com a energia potencial, não esquecendo que a energia potencial gravitacional é negativa.
\[E=K+P=\frac{1}{2}mv_\text{s}^2-\frac{GmM}{D}\]
Podemos escrever \(v_\text{s}^2=\dfrac{GM}{D}\), conforme acima. Assim:
\[E=\frac{1}{2}\frac{GmM}{D}-\frac{GmM}{D}=-\frac{GmM}{2D}\]
Expressando \(M\) em termos da densidade.
\[E=-\frac{4\pi \rho GmR_\text{T}^3}{6D}=-\frac{4\cdot3,\!14\cdot5500\cdot6,\!7\cdot10^{-11}\cdot 4\cdot10^3\cdot \left(6,\!4\cdot10^6\right)^3}{6\cdot1,\!04\cdot10^7}\]
\[E\simeq-7,\!8\cdot10^{10}~\text{J}\]

Calcularemos os períodos relativos a partir das velocidades angulares.
\[\omega_\text{rel} = \omega_\text{s} \pm \omega_\text{T}\]
Usamos o sinal de "mais ou menos" para contemplar as situações em que o satélite e a Terra giram no mesmo sentido e no sentido oposto um do outro.
\[\frac{2\pi}{T_\text{rel}}=\frac{2\pi}{T_\text{s}} \pm \frac{2\pi}{T_\text{T}}\]
\[\frac{1}{T_\text{rel}}=\frac{1}{T_\text{s}} \pm \frac{1}{T_\text{T}}\]
\[\frac{1}{T_\text{rel}}=\frac{T_\text{T}\pm T_\text{s}}{T_\text{s}T_\text{T}}\]
\[T_\text{rel}=\frac{T_\text{s}T_\text{T}}{T_\text{T}\pm T_\text{s}}\]
Agora precisamos dos períodos do satélite e da Terra.

Podemos calcular o período orbital do satélite pela terceira lei de Kepler.
\[\frac{T_\text{s}^2}{D^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\]
Escrevendo \(M\) em termos da densidade e do volume.
\[\frac{T_\text{s}^2}{D^3}=\frac{3\pi}{\rho GR_\text{T}^3}\]
\[T_\text{s}=\sqrt{\frac{3\pi D^3}{\rho GR_\text{T}^3}}=\sqrt{\frac{3\cdot3,\!14\cdot\left(1,\!04\cdot10^7\right)^3}{5500\cdot6,\!7\cdot10^{-11}\cdot\left(6,\!4\cdot10^6\right)^3}}\simeq 10473~\text{s}\]
O período de rotação da Terra.
\[T_\text{T}=86400~\text{s}\]
Assim,
\[T_\text{rel}=\frac{T_\text{s}T_\text{T}}{T_\text{T}\pm T_\text{s}}=\frac{86400\cdot10473}{86400\pm10473}\]
O período do satélite medido por um observador localizado no equador quando o satélite gira:

• no mesmo sentido da Terra: \(T_\text{rel}=\dfrac{86400\cdot10473}{86400-10473}\simeq11918~\text{s}\simeq \text{3h:18m:38s}\)
  

• no sentido contrário da Terra: \(T_\text{rel}=\dfrac{86400\cdot10473}{86400+10473}\simeq9341~\text{s}\simeq \text{2h:35m:41s}\)