Raízes da Equação

Se a e b são as raízes da equação x² - 7x + 1 = 0, determine o valor de (a-1)^4 + (b-1)^4.

A)376
B)485
C)1175
D)2000
E)1279

William Lima escreveu:Se a e b são as raízes da equação x² - 7x + 1 = 0, determine o valor de (a-1)^4 + (b-1)^4.

A)376
B)485
C)1175
D)2000
E)1279

Boa noite,

x² - 7x + 1 = 0

Raízes (por Bhaskara):
x = (7±3√5)/2

a-1 = (7+3√5)/2 - 2/2 = (5+3√5)/2
b-1 = (7−3√5)/2 - 2/2 = (5−3√5)/2

(a-1)⁴ = [(5+3√5)/2]² * [(5+3√5)/2]² = [(35+15√5)/2]² = (1175+525√5)/2
(b-1)⁴ = [(5−3√5)/2]² * [(5−3√5)/2]² = [(35−15√5)/2]² = (1175−525√5)/2

Logo,

(a-1)⁴ + (b-1)⁴ = (1175+525√5)/2 + (1175−525√5)/2 = 1175

Alternativa (C)



Um abraço.

Girard ---> a + b = 7 ----> ab = 1

(a + b)² = 7² ---> a² + b² + 2ab = 49 ---> a² + b² + 2.1 = 49 ---> a² + b² = 47

(a + b)³ = (a³ + b³) + 3ab.(a + b) ---> 7³ = (a³ + b³) + 3.1.7 ---> a³ + b³ = 322

(a + b)^4 = 7^4 --> a^4 + b^4 + 4a³b + 4ab³ + 6a².b² = 2401 --> a^4 + b^4 + 4ab.(a² + b²) + 6(ab)² = 2401

a^4 + b^4 + 4.1.(47) + 6.1² = 2401 ---> a^4 + b^4 = 2207

x = (a - 1)^4 + (b - 1)^4 ---> x = a^4 - 4a³ + 6a² - 4a + 1 + b^4 - 4b³ + 6b² - 4b + 1 ---> 

x = (a^4 + b^4) - 4.(a³ + b³) + 6.(a² + b²) - 4.(a + b) + 2 ---> 

x = 2207 - 4.322 + 6.47 - 4.7 + 2

Confira minhas contas e complete

Boa noite, Ivomilton. Não consegui compreender essa parte: 

 [(5+3√5)/2]² * [(5+3√5)/2]² = [(35+15√5)/2]² = (1175+525√5)/2


Por que  [(35+15√5)/2]² ?

Elcioschin escreveu: [(5+3√5)/2]² = (5² + 2.5.3.√5 + 3².5)/2² = (70 + 30.√5)/4 = (35+15√5)/2


Como são duas parcelas multiplicadas --->  [(35+15√5)/2]. [(35+15√5)/2] = (35² + 2.35.15,√5 + 15².5)/4


Complete as contas

Bom dia, caro Elcio.

Quando abri o computador hoje, o amigo já havia postado a explicação solicitada pelo William.
Mais uma vez, muito obrigado por sua cooperação!








Forte abraço.

Muito obrigado pela ajuda, mestres. Esclareceu minhas dúvidas. Abraço!