FEI:Raizes da equação

por DanNoom Ter 13 Jul 2010, 22:05

Determine a soma das ráizes da equação:

$\sqrt[3]{x+49} -\sqrt[3]{x-49}=2$

Resposta: 0

por **Elcioschin** Qua 14 Jul 2010, 15:45

Façamos:

x + 49 = a³ -----> x = a³ - 49
x - 49 = b³ -----> x = b³ + 49

a³ - 49 = b³ + 49 -----> a³ - b³ = 98 -----> I

³V(a³) - ³V(b³) = 2 -----> a - b = 2 -----> II

a³ - b³ = (a - b)*(a² + ab + b²) ---> 98 = 2*(a² + ab + b²) ---> a² + ba + b² - 49 = 0

Delta = b² - 4*1*(b² - 49) -----> D = 196 - 3b² -----> D >= 0

Partindo do pressuposto de que são soluções inteiras:

196 - 3b² >= 0 -----> 3b² =< 196 -----> b² < 66 ----> |b| =< 8

Soluções:

b = +3 ----> a = +5 -----> x' = + 76
b = -3 ----> a = -5 -----> x" = - 76

x' + x" = 0

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