k pertencente ao Reais, a família de curvas

Classifique, em função do parâmetro k pertencente ao Reais, a família de curvas
 
                                      3x² + ky² - 6kx - 2ky + 2k² + 2 = 0:

Como as duas incógnitas são elevadas ao quadrado e o termo Cxy tem C = 0, essa curva só pode representar uma elipse (talvez uma circunferência também, que é um caso particular de elipse) ou uma hipérbole.  

Elipse: 

(x-xo)²/k1² + (y-yo)/k2² = 1
(x²-2xxo+xo²)k2² + (y²-2yyo+yo²)k1² = (k1k2)²
(k2²)x² + (-2xok2²)x + xo²k2² + (y²)(k1²) + (-2yok1²)y + yo²k1² - (k1k2) = 0
(k2²)x² + (k1²)y² + (-2xok2²)x + (-2yok1)y + ((xok2)² + (yok1)² - k1k2 = 0 (I)

Se fizermos k1=k2 em (I), obtemos uma circunferência (eixo maior = eixo menor)


Hipérbole:
(x-xo)²/k1² - (y-yo)²/k2² = 1
(k2²)x² - (k1²)y² + (-2xok2²)x + (2yok1)y + ((xok2)² - (yok1)² - k1k2 = 0 (II)


Agora faça a igualdade entre os coeficientes das equações obtidas e a do enunciado para (I) e para (II) (verifique também se podemos ter uma circunferência).

Ok, achei !!!
Eu fiz assim, simplifiquei a equação para achar a equação reduzida e cheguei a isso; 

3(x - k)² + k(y - 1)² = (k + 2)(k - 1)
 mas não sei mais o que fazer. pode me dar uma dica?