Equação Paramétrica

Olá, gostaria de ajuda no seguinte problema:
Achar todos os valores de "m" de forma que mx^2 - 4x + 3m + 1 > 0 para todos x > 0

R: m > 1:

Desde já agradeço.

É apresentada uma inequação de segundo grau 
Para que ela seja sempre positiva(sempre maior que zero), ela não pode admitir raízes reais, o que ocorre se o delta (chamemos de D) seja menor do que zero.
Vamos resolver a partir da eq. Original:
D<0então b^2-4ac<0. Na equação, b = -4, c = 3m+1 e a =m
Substituindo os valores da equação, temos 16 - 4m(3m+1) = (-12m^2)-4m +16 < 0 (ii)
Uma nova inequação de segundo grau, de raízes -4/3 e 1. Como o sinal de a é negativo, então para que a inequação (ii) seja sempre menor do que zero, m<-4/3 ou m>1. Como x>0 (dado),então m>1.

Tenho uma dúvida quanto a esse exercício. Não seria possível a inequação mx^2 - 4x + 3m + 1 possuir raízes negativas de forma que para todo x>0 a inequação fosse positiva?

Definição de raiz: numa equação com incógnitas, geralmente chamada de "x",  a raiz da equação é o número que, se substituído na incógnita, anula a equação.
Um trinomio de segundo grau, ax^2+bx+c, se for igualado a 0, se torna uma equação de segundo grau, e as raízes são os valores que anulam toda a expressão.

Na questão que você postou, pede-se que a inequação seja MAIOR do que zero.Então concorda comigo que, pela definição de raiz, se a inequação possuir pelo menos uma raiz, então ela vai ser IGUAL a zero para esse valor de x? E, como dissemos, não queremos que a  inequação seja IGUAl a zero, e sim MAIOR do que zero. Então, para que ela seja sempre MAIOR do que zero, ela não pode possuir raízes, pois se possuir raízes ela será IGUAL a zero para algum valor de x, e não queremos isso.
Espero ter ajudado.

Hmm... devo ter interpretado o exercício errado. Pelo o que eu havia entendido a inequação deveria apresentar valores positivos quando "x" fosse maior que 0, não havendo restrições quando x < 0. Por isso achei que a inequação poderia apresentar raízes negativas.
Obrigado pela ajuda

Como o enunciando não definiu m, é necessário dividir em casos já que m pode ser positivo,negativo ou nulo, o que torna o exercício um pouco mais complicado.. a resolução do Matheus estaria certa para m > 0 , pois assim a concavidade da parábola é para cima e sendo delta negativo garantiria que y fosse sempre positivo.

1) se m = 0
- 4x + 1 > 0 ∴ x < 1/4 , como o enunciado deu como condição x > 0 :
0 < x < 1/4

2) se m < 0
mx^2 - 4x + 3m + 1 > 0
note que se 3m+1 < 0 ( m < -1/3 ) y será sempre negativo pois sendo m negativo e x positivo mx² - 4x é menor que 0. Então para o caso m deve estar no intervalo ]-1/3 , 0[
∆ = 16 - 4m(3m+1)
∆ = -12m² - 4m +16

raízes: x = (4 ± √[-12m² - 4m +16 ])/2m
uma das raízes é negativa, sendo a concavidade da parábola para baixo, para y positivo devemos ter:
0 < x <  (4 -√[-12m² - 4m +16])/2m , sendo -1/3 < m < 0

3) se m > 0, agora sim, basta que ∆ < 0 :
-12m² - 4m +16 < 0 ∴ m < -4/3 ou m > 1 , fazendo a interseção:
m > 1 e x > 0.

se não errei contas é isso..

Ah, obrigado pela correção, Luck.