razão

por Giovanni Xavier Dom 6 Abr - 10:39

Dadas as razões 6/a, 3/b, 9/c, 15/d, determine a,b,c,d sabendo-se que a+b+c+d=88.
Resp: 16,8,24 e 40
Obrigado.

por MatheusMagnvs Dom 6 Abr - 11:19

O enunciado não diz nada sobre a proporcionalidade das razões, mas assumirei que são diretamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais se relacionam por resultarem num mesmo valor quando divididas por suas partes proporcionais.

Então se a/b é proporcional a c/d, então a/b = c/d = k, onde k é uma constante das proporções.

Assumindo que são diretamente proporcionais, e aplicando o que foi explicado, temos:

(6/a) = (3/b) = (9/c) = (15/d) = k, onde k é uma constante das razões.

Usando uma propriedade de razões e proporções (se você não conhecer ela ou não entende-la, por favor diga que eu a demonstrarei), temos:

(6+3+9+15)/(a+b+c+d) = 33/88 = 3/8 = k (A soma de a,b,c e d é dado no enunciado como 88).

Então temos o valor de k.

Lembra-se que todas as parcelas eram iguais a k? Então podemos iguala-las individualmente a k.

Então, temos:

(6/a) = k = 3/8. Então a = 6/(3/8 ) = 16.

(3/b) = k = 3/8. Então b = 3/(3/8 ) = 8.

(9/c) = k = 3/8. Então c = 9/(3/8 ) = 24.

(15/d) = k = 3/8. Então d = 15/(3/8 ) = 40.

Aí estão as respostas, que conferem com o gabarito.

O enunciado falha por não informar como se relacionam as razões proporcionais, isto é, se são diretamente ou inversamente proporcionais.

Qualquer dúvida, pergunte. Espero ter ajudado.

por MatheusMagnvs Dom 6 Abr - 11:27

Bem, de todo modo, aí vai a demonstração da propriedade que citei. Caso não conheça, fica como conhecimento adicional, ou para qualquer um que não a conheça.

Vamos provar que, se a/b = c/d, então a/b = c/d = a+c/ b+d

Demonstração:

Seja a/b = c/d

Então (a/b) + (c/b) = (c/d) + (c/b)

Então (a+c)/b = (cb+cd)/bd

Então (a+c)/b = c(b+d)/bd

Multiplicando em cruz, temos que (a+c)/(b+d) = bc/bd = c/d.

Mas c/d = a/b. Então (a+c)/(b+d) = c/d = a/b

(Imagine aqui Aquele quadrado fofinho de fim dedemonstração aqui; acho ele mais legal do que o c.q.d., masnão sei fazer o tal quadrado no cel)

Enfim. Espero ter contribuído. Qualquer coisa, pergunte. Até mais.

por **ivomilton** Dom 6 Abr - 11:33

Giovanni Xavier escreveu:Dadas as razões 6/a, 3/b, 9/c, 15/d, determine a,b,c,d sabendo-se que a+b+c+d=88.
Resp: 16,8,24 e 40
Obrigado.

Bom dia, Giovanni.

Uma das propriedades das proporções diz assim:
"A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu consequente."
Antecedente são os numeradores; e
Consequentes são os denominadores.

Logo, podemos escrever:
6+3+9+15 __ 6 ..... 3 .... 9 ... 15
------------- = --- = --- = --- = ---
a+b+c+d ...... a ..... b .... c ....'.d

33
--- = 3/8
88

3/8 = 6/a = 3/b = 9/c = 15/d

Formando proporções entre a primeira razão (3/ Cool

e as seguintes, vem:
3/8 = 6/a → a = 6*8/3 = 48/3 → .....a=16
3/8 = 3/b → b = 8*3/3 = 24/3 → .... b=_8
3/8 = 9/c → c = 8*9/3 = 72/3 → ......c=24
3/8 = 15/d → d = 8*15/3 = 120/3 → d=40

Um abraço.

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