Seno - Triangulo

Os angulos a, b e c de um triângulo satisfazem à equação (sen a + sen b + sen c)*(sen a + sen b - sen c) = 3*sen a * sen b
Determine o valor do angulo c, em radianos.

Gabarito: c=60° ou Pi/3

a + b + c = 180°

c = 180° - (a + b)

(sen a + sen b + sen c)(sen a + sen b - sen c) = 3sena senb

( (sen a + sen b) + sen c) ( (sen a + sen b) - sen c) = 3sena senb

(sen a + sen b)² - sen² c = 3 sena senb

sen²a + sen²b + 2 sena senb - sen²( 180° - (a + b) ) = 3 sena senb

sen²a + sen²b - sen²( a + b) =  sena senb

sen²a + sen²b  - (sena cosb + senb cosa)² = sena senb

sen²a + sen²b  - (sen²a cos²b + sen²b cos²a +2sena cosb senb cosa) = sena senb

sen²a + sen²b  - sen²a cos²b - sen²b cos²a - 2sena cosb senb cosa = sena senb

sen²a( 1- cos²b) + sen²b( 1 - cos²a) - 2sena senb cosa cosb = sena senb

sen²a sen²b + sen²b sen²a - 2sena senb cosa cosb = sena senb

2sen²a sen²b - 2sena senb cosa cosb = sena senb

sena senb - cosa cosb = 1/2

cosa cosb - sena senb = - 1/2

cos(a + b) = - 1/2

a+b =120°

c = 60º