Limites 024

024.     Numa poligonal, de lados P₀P₁, P₁P₂, P₂P₃, ... , cada lado é perpendicular ao anterior e tem comprimento igual à metade do comprimento do lado anterior.
Se P₀P₁ = 1, então, quando n   tende para infinito, o limite da distância entre os vértices P₀ e P_n vale: (Resposta [2*5^(1/2)]/5).
 
Este exercício faz parte de testes de vetibular selecionados para exercitar o aluno.  É do Cesgranrio

Estou desconfiado de que a solução está relacionada com a espiral de Fidias e com a proporção áurea, mas não consigo criar a competente função para o cálculo do respectivo limite...
Alguém aí para me da uma ajudinha?

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Olá, pessoal!

Como gritou Arquimedes no famoso banho de imersão: EUREKA!


Devemos enxergar a espiral quadrada como uma P.G.:  (1/2)^0, (1/2)^1, (1/2)^2, (1/2)3, ...(1/2)^n
Subdividindo esta P.G. em 4 P.G.'s, uma para x progredindo, outra para x regredindo e similarmente para y quando está subindo e está descendo e calculando os respectivos limites da soma dos infinitos termos, chegamos ao ponto de convergência subtraindo Sn(x regredindo) de Sn(x progredindo) e similarmente com as P.G.'s do y.  Aí é só calcular a distância deste ponto à origem e temos os resultado procurado.

Provavelmente há outras soluções, mas esta aqui é a que melhor se enquadra para um teste de vestibular (bem sofiticadinho, aliás!)

Saudações

Schulz

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