Limites

Prove que (de preferência, sem usar a regra de L'Hôspital)
Como se trata de uma fração que mescla funções trigonométricas com um termo linear no quociente, não pude determinar o limite por manipulações algébricas ou por substituição de variável. Não consegui pelo Teorema do Confronto também. Ao inserir o problema no Wolfram Alpha, ele faz uso da série de Taylor centrada em x=0 para determinar o limite, mas eu não consegui entender como, uma vez que a função não está definida para x=0. Se alguém puder me ajudar calculando o limite de alguma forma que não use a regra de L'Hôspital, ou puder me explicar como fazê-lo por Taylor, eu ficaria muito agradecido.

ce tem que usar o limite fundamental da trigonomagia

fazendo um milhão de manipulações algebricas (tenta entender por que cada passo é verdade):
[latex]\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}&=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x})(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}{x^3(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\lim_{x\to0}\frac{1}{(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^3\cos x}\cdot\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}\\
&=\frac{1}{4}\left(\lim_{x/2\to0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\\
&=\frac{1}{4}
\end{align*}[latex]


[latex][latex]