O valor de P(n+2)

por Dinheirow Qui 12 Set 2013, 12:07

Se P(x) é um polinômio de grau n tal que P(k) = 1/k para k = 1, 2, 3, ..., n+1, determine o valor de P(n+2)

Spoiler:

por **fantecele** Seg 28 Ago 2017, 23:24

Considere o polinômio Q(x) tal que Q(x) = P(x).x - 1, sendo P(x) do grau n, iremos ter Q(x) do grau n+1.
Perceba que Q(k) = 0 para k = 1; 2; 3; ...; n+1, com isso encontrarmos todas as raízes de Q(x), portanto podemos escrever ele da seguinte forma:
Q(x) = A(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - (n+1))

Agora iremos encontrar o valor de A:

Fazendo x = 0 em Q(x):

Q(0) = P(0).0 - 1 = A(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)...(0 - (n+1))
$\\-1=A.(-1)^{n+1}.(n+1)!\\\\A=\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}$

Dessa forma:

$\\Q(x)= \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-(n+1))$

Consequentemente:

$\\P(x).x-1= \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-(n+1))$

Fazendo x = n+2

$\\P(n+2).(n+2)-1= \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}.(n+2-1)(n+2-2)(n+2-3)...(n+2-(n+1))\\\\P(n+2).(n+2)-1= \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!}.(n+1)(n)(n-1)...(1)\\P(n+2).(n+2)-1=(-1)^{n+2}$

Agora iremos analisar os casos de n par e n ímpar.

Se n for ímpar:

$\\P(n+2).(n+2)-1=(-1)^{n+2}\\P(n+2).(n+2)-1=-1\rightarrow P(n+2)=0$

Se n for par:

$\\P(n+2).(n+2)-1=(-1)^{n+2}\\P(n+2).(n+2)-1=1\rightarrow P(n+2)=\frac{2}{n+2}$

O valor de P(n+2)

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