(Espanha) raízes reais

Sejam a, b e c números reais. Prove que se x³ + ax² + bx + c tem três raízes reais, então 3b≤a².

Irei chamar as raízes de m, n, p.

Sendo m, n, p reais obviamente temos que:
(m - p)² + (m - n)² + (n - p)² ≥ 0
m² - 2mp + p² + m² - 2mn + n² + n² - 2np + p² ≥ 0
2m² +2p² +2n² - 2mp - 2mn  - 2np ≥ 0
m² +p² +n² - mp - mn  - np ≥ 0

Somando e subtraindo 3mp, 3np, 3mn:

m² +p² +n² - mp - mn  - np - 3mp - 3mn  - 3np + 3mp + 3mn  + 3np ≥ 0
m² +p² +n² + 2mp + 2mn + 2np ≥ 3mp + 3mn  + 3np
(m + n + p)² ≥ 3(mp + mn  + np)  (I)

Na equação x³ + ax² + bx + c podemos ver que, por Girard, "m + n + p = -a" e "mn + mp + np = b", com isso, substituindo em (I):

(-a)² ≥ 3(b)
a² ≥ 3b