Geometria: Calcular a área do quadrado.

Eu fiz essa questão mas o gabarito não bate.

Questão: ABCD é um quadrado. Prolongam-se os lados opostos AB e CD de segmentos BM= 1 cm e DN= 2,5 cm. Calcular a área desse quadrado, sabendo que o segmento MN= 8,5 cm. 

(Feito o desenho percebe-se que os lados prolongados forma com um dos lados do quadro um trapézio retângulo, tracei a altura perpendicular P ao lado DN e formou um triangulo retângulo MNP de hipotenusa 8,5 e cateto 1,5 (2,5 - 1) fiz Pitágoras e achei a altura que é 7, e percebe-se que é também o lado do quadrado, portanto a área de L²= 49 cm² ) O que fiz de errado?

 R: 16cm²

O prolongamento de DN é do lado oposto de BM, isto é no sentido de C para D

Seja x o lado do quadrado

(2,5 + x + 1)² + x² = 8,5² ----> (x + 3,5)² + x² = 72,25 ----> 2x² + 7x - 60 = 0

Raiz positiva ---> x = 4 cm

Área do quadrado ----> S = x² ---> S = 4² ----> S = 16 cm²

Maurilo Silva escreveu:Eu fiz essa questão mas o gabarito não bate.

Questão: ABCD é um quadrado. Prolongam-se os lados opostos AB e CD de segmentos BM= 1 cm e DN= 2,5 cm. Calcular a área desse quadrado, sabendo que o segmento MN= 8,5 cm. 

(Feito o desenho percebe-se que os lados prolongados forma com um dos lados do quadro um trapézio retângulo, tracei a altura perpendicular P ao lado DN e formou um triangulo retângulo MNP de hipotenusa 8,5 e cateto 1,5 (2,5 - 1) fiz Pitágoras e achei a altura que é 7, e percebe-se que é também o lado do quadrado, portanto a área de L²= 49 cm² ) O que fiz de errado?

 R: 16cm²

Boa noite, Maurilo.

Vamos fazer um esboço disso:

Trace aí um quadrado de uns 3 cm de lado, identificando seus vértices assim:
Canto superior esquerdo: A
Canto superior direito: B
Canto inferior direito: C
Canto inferior esquerdo: D

Prolongue para a direita o lado AB, de mais 1 cm, identificando com a letra M seu extremo livre.
Prolongue para a esquerda o lado DC, de mais 2,5 cm, identificando com a letra N seu extremo livre.
Ligue N a M por um segmento de reta.

Prolongue para a direita o lado DC, de modo a formar uma base para uma perpendicular baixada desde M intercepte esse prolongamento num ponto que identificaremos pela letra E.

Teremos assim formado o triângulo MEN, retâgulo em E, cujas medidas são:
NE = ND + DC  + E

Chamando de L o lado do quadrado, ficará:
NE = 2,5 cm + L + 1 cm
NE = L + 3,5 cm

ME = L
MN= 8,5 cm

Assim, nesse triângulo retângulo MEN, teremos:
cateto horizontal = NE = L + 3,5 cm
cateto vertical = L
hipotenusa = 8,5 cm

E, aplicando-se Pitágoras, obteremos:
(L + 3,5)² + L² = (8,5)²
L² + 7L + 12,25 + L² = 72,25
2.L2 + 7.L + 12,25 - 72,25 = 0
2.L2 + 7.L - 60 = 0

Resolvendo por Bhaskara, encontraremos:
L = 4 cm

Concluindo:
A(quadrado) = L² = 4² = 16 cm²




Um abraço.

Murilo,
A fig. pela boa resolução do mestre Elcio.

att

Obrigado pela atenção mestre Ivomilton, interpretei como se os segmentos prolongados fossem na direção do mesmo lado, boa noite! Grato.

Obrigado mestre Elcioschin, é verdade, DN deve ser prolongado ao lado oposto de BM. Grato!

raimundo pereira escreveu:
Murilo,
A fig. pela boa resolução do mestre Elcio.

att

 Perfeito! Valeu.