CN 1991 Geometria área do quadrado inscrito

por **raimundo pereira** Dom 24 Jun 2012, 21:51

Considere um losango de lado L e área S. A área do quadrado inscrito no losango, em função de L e S é:

Resp: S²/L² + S

por **hygorvv** Seg 25 Jun 2012, 17:40

Sendo l o lado do quadrado, D a diagonal maior do losango e d a menor, temos por semelhança de triângulos:

l/2/d/2=(D-l)/2/D
l/d=(D-l)/D
Dl=dD-dl
l=Dd/(D+d)

Por Pitágoras
L²=(D²+d²)/4
4L²=D²+d²

A área do quadrado será dada por
S'=l²
S'=(D.d)²/(D²+d²+2dD)

Sabemos que a área do losango é dada por
S=D.d/2
Logo, Dd=2S
Substituindo:
S'=4S²/4L²+4S
S'=S²/(L²+S)

Espero que seja isso e que te ajude.

por **raimundo pereira** Seg 25 Jun 2012, 18:49

Muito grato pela ajuda . Demorei um pouco para entender a semelhança .

Penso que ficaria mais fácil escrevendo-a assim : l/2 / d/2 = ( D/2 - l/2)/ D.

um abraço e tenha um bom dia

Raimundo

por Henriquenavaer Qui 10 Out 2013, 17:46

Algum de vcs poderia explicar a semelhança que foi feita no inicio das contas?
Obrigado, desde já.

por **Elcioschin** Qui 10 Out 2013, 18:03

Faça um desenho do losango ABCD
Desenhe as diagonais D = AC e d = BD e o ponto O de encontro das duas
Desenhe o quadrado MNPQ de lado l (M sobre AB, N sobre BC, P sobre CD e Q sobre DA)
Seja R o ponto médio de NP

Triângulos BOC e e NRC são semelhantes

por gabriel curcanos Ter 07 Jul 2015, 12:05

Mestre Elcios, de onde foi retirado esse vértice R? E por quais motivos o lado do quadrado seria L? Já que o lado do losango é L. Ficarei grato pela resposta.

por **Elcioschin** Ter 07 Jul 2015, 12:56

Não foi dito em nenhum lugar que R é um vértice: R é o ponto médio do lado NP do quadrado (ponto de cruzamento da diagonal maior AC, com o lado NP)

O correto é lado l do quadrado (nomenclatura dada pelo Raimundo). Vou corrigir (em vermelho).