área do octógono inscrito em quadrado .

por rodocarnot Sáb 09 Ago 2014, 10:59

A figura a seguir , ilustra dois quadrados, de lado medindo 1 , sobrepostos de maneira que os pontos de interseção dos quadrados formam um octógono regular. Qual a área do octógono ?

área do octógono inscrito em quadrado . 2ryhijo

área do octógono inscrito em quadrado . 2ryhijo

a)2(√2 - 1 )
b) 2(√2 + 1)
C)3(√2 - 1)
D) 3(√2 - 1)/2
E)2√2 - 1

oBS: Não tenho o gabarito .

Tentativa de solução frustada :

Eu tracei uma circunferência tangenciando todos os vértices externamente dos quadrados , assim calculei a área da circunferência conhecendo a diagonal , logo determinando seu raio . A partir disso , calculei a área das semi-circunferência de cada lado , ma não obtenho resultado correto ,e ainda eu calculo a área de uma e multiplico por 4 e divido por dois para raio 0,5 , porém minha solução final da zero .

por **raimundo pereira** Sáb 09 Ago 2014, 11:45

por rodocarnot Sáb 09 Ago 2014, 13:48

raimundo pereira escreveu:

Mestre , não consigo identificar o porque a base e 1/3 , e ainda sim não consegui chegar ao resultado. Desculpa .

por **raimundo pereira** Sáb 09 Ago 2014, 16:06

rodocarnot,
Nao estou no meu miicro . Depois posto a resol. o gab é alt a---> 2V2-2

A base do triangulo em amarelo realmente no é 1/3. Calcule o lado do quadrado formado por 2 triang. amarelo. A diagonal desse quadradinho é :(V2-1)/2 . 2 =(V2-1)
Calcule o lado do quadradinho e depois a sua área.
L=(2-V2)/2--->S={(2-2V2)/2}^2--->(3-2V2)2

A área dos quatro triang. formam 2 quadradinhos --=(3-2V2)
Ärea do octógono 1 -(3-2V2)--->2V2-2

por **Elcioschin** Sáb 09 Ago 2014, 19:02

Seja MNPQRSTU o octógono, sendo MN a base preta do triângulo amarelo do desenho do Raimunto

Esta base não vale 1/3

Seja DM = DU = CN = CP = x ----> MN = CD - 2x ----> MN = 1 - 2x

MU² = DM² + DU² ----> MU² = x² + x² ---> MU = x.√2

MN = MU ---> 1 - 2x = x.√ 2 ----> (1 - 2x)² = 2.x² ---> Equação do 2º grau: calcule x

S = 1² - 4.(x²/2) ---> Calcule S

por **Medeiros** Sáb 09 Ago 2014, 19:24

fiz seguindo a ideia do Raimundo. Vejo, agora, que é igual ao do Élcio. Como já fiz, vou postar assim mesmo.

área do octógono inscrito em quadrado . Jim00j

2x + 2y = 1 -----> x + y = 1/2 -----> y = 1/2 - x

por Pitágoras:
((√2 - 1)/2)² + y² = x²
((√2 - 1)/2)² + (1/2 - x)² = x²
(2 - 2√2 + 1)/4 + 1/4 - x + x² = x²
x = (3 - 2√2)/4 + 1/4
x = (2 - √2)/2
.:. 2y = 1 - 2x -----> 2y = √2 - 1

área do triângulo amarelo = S'
S' = (√2 - 1)(√2 - 1)/(2.2) -----> S' = (3 - 2√2)/4

área do octógono = S
S = 1² - 4*S'
S = 1 - 3 + 2√2
S = 2(√2 - 1)