problema dificílimo

Os pontos A, B, C e D pertencem a um círculo de diâmetro 1 e X está sobre o diâmetro AD. Se BX=CX
e 3BAC=BXC=36º, então a medida o seguimento AX é igual a :
a)cos6º.cos12º.sec18º
b)sen6º.sen12º.csc18º
c)cos6º.sen12º.csc18º
d)sen6º.sen12º.sec18º
e)cos6º.sen12º.cos18º


no gabarito do livro indica" a" letra a como alternativa correta

Eu desenvolvi aqui e encontrei isso:





Como a resolução é um tanto quanto comprida, então eu vou postá-la se alguém conseguir demonstrar, por transformações trigonométricas, que a minha resposta é válida (eu ainda não consegui).
Acredito que deva haver algo bem mais rápido do que o que eu fiz.

1) Dados:

ang(BAC) := BAC

ang(BXC) := BXC

3BAC = BXC = 36°

BX = CX

diâmetro AD = 1 uc


2) Pede-se:

AX = ?



3)Tem-se:

a) BAC = 36°/3 = 12°


b) BX = CX ⇔ BC 丄 AD ⇔ BH = CH = h ⇔ BAH = CAH = 6º

Então:

BOH = COH = 2 BAH = 2 CAH = 12°



c) BO = CO = AO = DO = AD/2 = 1/2 = raio


d) Do Triângulo Retângulo BHO:

HO = BO.cos12° = cos12° / 2

BH = BO.sen12° = sen12° / 2




e) Do Triângulo Retângulo AHB:


AH = BH / tan6° = sen12° / 2tan6°



f) Do Triângulo Retângulo BHX:

HX = BH / tan18° = sen12° / 2tan18°


g) Da geometria:



(i) Opção AX = AO + OX

OX = HO - HX

AX = AO + HO - HX

AX = 1/2 + cos12°/2 - sen12° / 2tan18° ≈ 0,6691



(ii) Opção AX = AH - HX

AX = sen12° / 2tan6° - sen12° / 2tan18° =

(sen12°/2) {cos6°/sen6° - cos18°/sen18°)  ≈ 0,6691



h) Analisando-se as alternativas:

(a) cos6º.cos12º.sec18º ≈ 1,023 > 1  ⇒ !!! IMPOSSÍVEL !!!

(b) sen6º.sen12º.csc18º ≈ 0,07  ⇒ ERRADA !!!

(c) cos6º.sen12º.csc18º ≈ 0,6691 ⇒ CORRETA !!!

(d) sen6º.sen12º.sec18º ≈ 0,023 ⇒ ERRADA !!!

(e) cos6º.sen12º.cos18º ≈ 0,197 ⇒ ERRADA !!!


i) Pela "cara" (mais simples ...?), pode-se escolher a opção (ii):

AX = sen12° / 2tan6° - sen12° / 2tan18° =

(sen12°/2) (cot6° - cot18°) = ...

--------> Continua no próximo post...

Como ninguém continuou...

Vamos Lá !

Analisando as alternativas:

A opção (a):

cos6º.cos12º.sec18º = cos6º.cos12º / cos18º > 1 !!! 


É impossível, pois X está contido em AD. Sendo  AD = 1, AX é menor ou, até mesmo — quando coincidir com o ponto D — igual a 1.

Logo, não pode estar correta.

O fator comum às outras opções é "sen12°", então, o mesmo deverá estar presente na resposta.

Escolhemos, das 2 expressões encontradas no post anterior, a mais "parecida":

(sen12°/2) (cot6° - cot18°) 

E vamos trabalhar só com:

(cot6° - cot18°)/2

Para quem não sabe decorado todas as identidades trigonométricas, vai ter que trabalhar um pouquinho...

Vamos lá !

Sabendo-se as definições:

0) seno de ângulo/2 = meia corda / raio  ; cosseno = projeção do raio  / raio

1) tanx ≡ senx / cosx

3) cotx ≡ 1 / tgx

4) secx ≡ 1 / cosx

5) cscx ≡ 1  /senx

As identidades:

1) sen²x + cos²x ≡ 1

2) cos(x+y) ≡ cosx.cosy - senx.seny

3) senx é função ímpar: sen(-x) ≡ -sen(x)

4) cosx é função par: cos(-x) ≡ cos(x)

5) Num triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares:

Sejam x e y esses ângulos:

x + y = 90° --> y = 90° - x

cos(y) ≡ cos(90° - x) ≡ sen(x)


Com esse conjunto de conhecimentos, agora temos que usar o separador de orelhas:

(cot6° - cot18°)/2 = ( cos6°/sen6° - cos18°/sen18°)/2 =

( (cos6°.sen18° - cos18°.sen6°) / (sen6°.sen18°) ) /2 =

( sen(18° - 6°) / (sen6°.sen18°) ) /2 =

( sen12° / (sen6°.sen18°) ) /2 =

( 2sen6°.cos6° / (sen6°.sen18°) ) /2 =

cos6° / sen18° = cos6°. csc18°


Finalmente, colocando o ansioso e guardado sen12° e ordenando os termos, teremos:

 cos6°. sen12°. csc18° ■