Demonstre

Como provar a primeira desigualdade usando a figura

Foi usado desigualdade das médias: M.A ≥ M.G ≥ M.H
(a+b)/2 ≥ √ab , sendo a, b > 0.  Suponha (a+b)/2 < √ab
(a+b)²/4 < ab ∴ a² + 2ab + b² < 4ab ∴ a² - 2ab + b² < 0 ∴ (a-b)² < 0 absurdo, logo (a+b)/2 ≥ √ab .
de modo análogo vc conclui que √ab ≥ 2ab/(a+b).

não entendi essa notação M.A >= M.G >= MH isso são as médias de A G e H? Ou é media harmonica , geometrica e aritmética?

Rhyu escreveu:não entendi essa notação M.A >= M.G >= MH isso são as médias de A G e H? Ou é media harmonica , geometrica e aritmética?

média aritmética, média geométrica e média harmônica..

Teria algum outro jeito de fazer a demonstração usando a figura dada?

Rhyu escreveu:Teria algum outro jeito de fazer a demonstração usando a figura dada?

relacione os segmentos como mostra a figura: como AM é o raio do semicírculo, e a+b o diâmetro entao AM = (a+b)/2 ; AG = R - b = [(a+b)/2] - b = (a-b)/2  , pitágoras no triângulo AMG : [(a+b)/2]² = [(a-b)/2]² + GM² ∴ GM = √ab , como AM é hipotenusa do triângulo AGM e GM é cateto AM > GM  ; das relações métricas do triângulo retângulo temos que GM² = HM.AM ∴ ab = HM.(a+b)/2 ∴ HM = 2ab/(a+b) como GM é hipotenusa do triângulo MHG e HM é cateto, GM > HM , tirando os casos em que os segmentos sao iguais, entao : AM ≥ GM ≥ HM

obs: se a questão tinha um enunciado ele também deve ser digitado.