Se a,b e c ∈ R+* , demonstre que...

por Nat' Qua 01 Ago 2012, 00:58

Olá gente! Alguém me ajuda com mais essa questão de demonstração de desigualdades?

Obrigada! Very Happy

Se a,b e c ∈ R+*. Mostre que:

bc/a + ac/b + ab/c >= a + b +c

por **JoaoGabriel** Qui 02 Ago 2012, 14:18

Tive uma ideia, não sei se funciona, o que vocês acham?

Seja bc/a + ac/b + ab/c = Ω

Ω =((bc)² + (ac)² + (ab)²)/abc

Considere um polinômio do 3º grau da forma:

P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D, com raízes a, b e c ∈ R+*.

-->Temos que abc = -D/A
-->Temos que a + b + c = -B/A
-->Temos que ab + ac + bc = C/A

E a partir daí, elevar a 3ª equação ao quadrado e então comparar os resultados.

por Nat' Qui 02 Ago 2012, 14:40

Então JoãoGabriel, eu elevei a 3ª equação ao quadrado e ela ficou assim: a²b² + a²c² + b²c² + 2a²bc + 2b²ac + 2bca² = C²/A² .:. 2abc(a + b + c) +a²b² + a²c² + b²c² = C²/A² .

E agora faço o que?? Acho que não entendi muito bem...

por **JoaoGabriel** Qui 02 Ago 2012, 14:48

2abc(a + b + c) +a²b² + a²c² + b²c² = C²/A²

--> -2*D/A + (ab)² + (ac)² + (bc)² = (C/A)²

(ab)² + (ac)² + (bc)² = (C/A)² + 2D/A

Ω =((bc)² + (ac)² + (ab)²)/abc

Substituindo:

Ω =( (C/A)² + 2D/A))/-D/A

Ω = - (C²/A + 2D)/D
Ω = -C²/AD + 2

O que acha disto, será que vai dar certo?

PS eu não fiz de certeza, foi apenas uma ideia :p

por Luck Qui 02 Ago 2012, 15:01

M.A>= M.G

[(bc/a) + (ac/b)] / 2 >= c
[(ac/b) + (ab/c) ]/ 2 >= a
[(bc/a) + (ab/c)]/2 >= b

somando:
2(bc/a + ac/b + ab/c)/2 >= a + b + c
bc/a + ac/b + ab/c >= a + b + c
c.q.d

por **JoaoGabriel** Qui 02 Ago 2012, 15:06

Muito bom!

por Nat' Qui 02 Ago 2012, 15:13

Ω = -C²/AD + 2 .:. Ω = (C/A)² . (-1/A/D) + 2

Resolvendo fica assim:

Ω = (2abc(a + b + c) +a²b² + a²c² + b²c²)/abc + 2

JoãoGabriel o meu muito obrigada pela ajuda! Mas eu acho que a resolução do Luck foi mais simples!:face: Obrigada pela ajuda gente! Very Happy