Demonstre a^n - b^n

Oi

Outro dia postei o seguinte exercício aqui no fórum:

A partir de a^3 - b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) e alguns outros itens passados na minha lista, generalize a^n - b^n

Eu, corretamente, especulei que:

, para n>=2
(acho que foi isso o que eu coloquei)

O Luck me provou que era verdade fazendo um soma de PG, uma demonstração muito legal.

Gostaria de saber como demonstrar a fórmula corretamente por indução, sabendo que eu especulei a fórmula acima a partir de outros itens.

Mais uma vez, não sei se pertence a cqd, então peço que, se pertencer, algum moderador mova o tópico.

Por indução, para n = 2, a² - b² = (a-b)(a+b) ok
Supondo válido para n:
a^n - b^n = (a-b)[ a^(n-1) + a^(n-2).b + ... + a.b^(n-2) + b^(n-1)]

n --> n+1
a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)[a^n + a^(n-1)b + ... + ab^(n-1) + b^n] (tese)

a^(n+1) - b^(n+1) = a.a^n - b.b^n
a^(n+1) - b^(n+1) = a.a^n - ab^n + ab^n -b.b^n
a^(n+1) - b^(n+1) = a(a^n - b^n) + b^n(a-b)
a^(n+1) - b^(n+1) = a(a-b)(...) + b^n(a-b)
a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)[ a(...) + b^n]
a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)[a[a^(n-1) + a^(n-2).b + ... + a.b^(n-2) + b^(n-1)] + b^n ]
a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)[a^n + a^(n-1)b + .... + ab^(n-1) + b^n] c.q.d

Perfeito Luck

Só uma dúvida, como no exemplo é para n >=2, eu deveria provar que é válido para n=2?

Obrigada

Giiovanna escreveu:Perfeito Luck

Só uma dúvida, como no exemplo é para n >=2, eu deveria provar que é válido para n=2?

Obrigada

Nem reparei, também é válido para n =1 mas como o enunciado considera n>= 2 o certo é começar pelo n=2 sim, editado.

Obrigada

Não entendi a restrição também. Mas ok