(PIF) Demonstre
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por roodrigoooh Seg 26 Mar 2012, 17:57
Demonstre por PIF que:
}{81} "7+77+777+...+\underbrace{7777..77} = \frac{7(10^{n+1}-9n-10)}{81}")
O 7777..77 destacado quer dizer n digitos .
O 7777..77 destacado quer dizer n digitos .
roodrigoooh- Recebeu o sabre de luz
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Re: (PIF) Demonstre
por matheuss_feitosa Seg 26 Mar 2012, 20:31
Hipótese:
P(n)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^n+1 - 9n - 10)/81
(1) Notemos que P(1) é verdadeira
P(1)= 7(10^2 - 9.1 -10)/81= 7
(2) Supondo que exista k, tal que P(k)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^k+1 - 9k - 10)/81, então para P(k+1) a proposição se mantém verdadeira.
Veja:
7=7(10-1)/9; 77=7(10^2 -1)/9; ...; 77...77(k+1 dígitos)=7(10^k+1 -1)/9
P(k+1)= 7 + 77 + 777 + ... + 77...77(k dígitos) + 77...77(k+1 dígitos)=
P(k+1)= 7(10^k+1 - 9k - 10)/81 + 7(10^k+1 - 1)/9=
P(k+1)= 7[10^k+1.(9+1) - 9.(k+1) -10]/81=
P(k+1)= 7(10^k+2 - 9(k+1) -10)/81
Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo n≥1.
Abraços.
P(n)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^n+1 - 9n - 10)/81
(1) Notemos que P(1) é verdadeira
P(1)= 7(10^2 - 9.1 -10)/81= 7
(2) Supondo que exista k, tal que P(k)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^k+1 - 9k - 10)/81, então para P(k+1) a proposição se mantém verdadeira.
Veja:
7=7(10-1)/9; 77=7(10^2 -1)/9; ...; 77...77(k+1 dígitos)=7(10^k+1 -1)/9
P(k+1)= 7 + 77 + 777 + ... + 77...77(k dígitos) + 77...77(k+1 dígitos)=
P(k+1)= 7(10^k+1 - 9k - 10)/81 + 7(10^k+1 - 1)/9=
P(k+1)= 7[10^k+1.(9+1) - 9.(k+1) -10]/81=
P(k+1)= 7(10^k+2 - 9(k+1) -10)/81
Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo n≥1.
Abraços.
matheuss_feitosa- Padawan
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