(PIF) Demonstre

Demonstre por PIF que:



O 7777..77 destacado quer dizer n digitos .

ningueem ? :S

Hipótese:
P(n)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^n+1 - 9n - 10)/81

(1) Notemos que P(1) é verdadeira
P(1)= 7(10^2 - 9.1 -10)/81= 7
(2) Supondo que exista k, tal que P(k)=7 + 77 + 777 + ... + 77...77=7(10^k+1 - 9k - 10)/81, então para P(k+1) a proposição se mantém verdadeira.

Veja:
7=7(10-1)/9; 77=7(10^2 -1)/9; ...; 77...77(k+1 dígitos)=7(10^k+1 -1)/9

P(k+1)= 7 + 77 + 777 + ... + 77...77(k dígitos) + 77...77(k+1 dígitos)=
P(k+1)= 7(10^k+1 - 9k - 10)/81 + 7(10^k+1 - 1)/9=
P(k+1)= 7[10^k+1.(9+1) - 9.(k+1) -10]/81=
P(k+1)= 7(10^k+2 - 9(k+1) -10)/81

Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo n≥1.

Abraços.