Demonstre que..
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Demonstre que..
por Otavinhoo Ter 14 Jan 2014, 00:45
Três círculos C, C’ e C’’, de mesmo raio, se tangenciam exteriormente dois a dois. O círculo que tangencia exteriormente C, C’ e C’’ tem raio q e o círculo que tangencia interiormente C, C’ e C’’ tem raio p. Se r for o raio do círculo inscrito no triângulo formado pelos centros de C , C’ e C’’, demonstre que: 1/p + 1/q = 4/r.
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raimundo pereira- Grupo
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Re: Demonstre que..
por Medeiros Qua 15 Jan 2014, 00:15
Amigo Raimundo, não entendi e/ou não concordo com a afirmação indicada:
Então vou postar minha solução.
Seja R o raio dos círculos congruentes C, C' e C".
O triângulo CC'C" é equilátero -----> L = 2R -----> h = L√3/2 = R√3
q = R + 2h/3 = R + R.2√3/3 -----> q = R.(2√3/3 + 1)
p = q - 2R = R.(2√3/3 + 1) - 2R = R.(2√3/3 + 1 - 2) -----> p = R.(2√3/3 - 1)
r = h/3 -----> r = R.√3/3
}+\frac{1}{R\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1&space;\right&space;)}\;=\;\frac{1}{R}\cdot\left[\frac{\frac{4\sqrt3}{3}}{\frac{4}{3}-1}&space;\right&space;]&space;\\\\\\&space;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\;=\;\frac{1}{R}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{1}&space;\;\;\;\longrightarrow\;\;\;&space;{\color{Red}&space;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\;=\;\frac{4\sqrt{3}}{R}}&space;\;\;\;&space;\text{........(i)}&space;\\\\\\\\&space;\frac{4}{r}\;=\;\frac{4}{R\frac{\sqrt{3}}{3}}\;=\;\frac{12}{R\sqrt{3}}\;=\;\frac{12\sqrt{3}}{R.3}&space;\;\;\;\longrightarrow\;\;\;&space;{\color{Red}&space;\frac{4}{r}\;=\;\frac{4\sqrt{3}}{R}}&space;\;\;\;&space;\text{........(ii)} "\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\;=\;\frac{1}{R\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1 \right )}+\frac{1}{R\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1 \right )}\;=\;\frac{1}{R}\cdot\left[\frac{\frac{4\sqrt3}{3}}{\frac{4}{3}-1} \right ] \\\\\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\;=\;\frac{1}{R}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{1} \;\;\;\longrightarrow\;\;\; {\color{Red} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\;=\;\frac{4\sqrt{3}}{R}} \;\;\; \text{........(i)} \\\\\\\\ \frac{4}{r}\;=\;\frac{4}{R\frac{\sqrt{3}}{3}}\;=\;\frac{12}{R\sqrt{3}}\;=\;\frac{12\sqrt{3}}{R.3} \;\;\;\longrightarrow\;\;\; {\color{Red} \frac{4}{r}\;=\;\frac{4\sqrt{3}}{R}} \;\;\; \text{........(ii)}")
como (i)=(ii)
1/p + 1/q = 4/r ................................ q.e.d.
_____________________________________
Fica para o originador Otavinhoo demonstrar a segunda parte: q/r = r/p .
Então vou postar minha solução.
Seja R o raio dos círculos congruentes C, C' e C".
O triângulo CC'C" é equilátero -----> L = 2R -----> h = L√3/2 = R√3
q = R + 2h/3 = R + R.2√3/3 -----> q = R.(2√3/3 + 1)
p = q - 2R = R.(2√3/3 + 1) - 2R = R.(2√3/3 + 1 - 2) -----> p = R.(2√3/3 - 1)
r = h/3 -----> r = R.√3/3
como (i)=(ii)
1/p + 1/q = 4/r ................................ q.e.d.
_____________________________________
Fica para o originador Otavinhoo demonstrar a segunda parte: q/r = r/p .
Última edição por Medeiros em Qua 15 Jan 2014, 00:25, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : editado p/ recarregar a segunda figura corrigida.)
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Re: Demonstre que..
por raimundo pereira Qua 15 Jan 2014, 09:31
Bom dia amigo Medeiros,
Na equação questionada o que pensei foi:
Chamei de 2r o raio do círculo circunscrito ao triâng. equilátero.
Os raios dos círculos cinzas são iguais, o raio do círculo menor(central) é p e do círculo maior q.
Observando a fig.
Raio do círculo C" = 2r-p
Raio do círculo C' = q -2r
1=2
Não consigo ver o erro. O que vc discorda nessa equação?
Na equação questionada o que pensei foi:
Chamei de 2r o raio do círculo circunscrito ao triâng. equilátero.
Os raios dos círculos cinzas são iguais, o raio do círculo menor(central) é p e do círculo maior q.
Observando a fig.
Raio do círculo C" = 2r-p
Raio do círculo C' = q -2r
1=2
Não consigo ver o erro. O que vc discorda nessa equação?
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Re: Demonstre que..
por Medeiros Qua 15 Jan 2014, 11:27
Bom dia, Raimundo.
Tinha observado "bem" o seu desenho, vi que 2r é a altura do triâng. equil., e ontem achava que em (2) ficou faltando o tamanho de "p". Mas isto foi falha minha (me desculpe) pois está tudo certo com
2r - p = q - 2r.
Portanto, NÃO mais discordo dessa equação.
Porém, aproveitando, como acontece a passagem em vermelho?
4r = p + q -----> (4r)ˉ¹ = (p+q)ˉ¹ -----> 1/(4r) = 1/(p+q) -----> 1/(4r) = 1/p + 1/q
Tinha observado "bem" o seu desenho, vi que 2r é a altura do triâng. equil., e ontem achava que em (2) ficou faltando o tamanho de "p". Mas isto foi falha minha (me desculpe) pois está tudo certo com
2r - p = q - 2r.
Portanto, NÃO mais discordo dessa equação.
Porém, aproveitando, como acontece a passagem em vermelho?
4r = p + q -----> (4r)ˉ¹ = (p+q)ˉ¹ -----> 1/(4r) = 1/(p+q) -----> 1/(4r) = 1/p + 1/q
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Re: Demonstre que..
por raimundo pereira Qua 15 Jan 2014, 12:16
Olá Medeiros...
Isso chama-se "mancada". O bom é que o Otavinho já tem uma resol. correta. Quando tiver tempo vou me "elocubrar" em cima dessa minha teoria , acho que o caminho é válido.
Tô atarefado demais. Meu filho(FernandoPP) viaja sábado para Angra dos Reis(CN). Esses marinheiros tinham que aprender com o Exército , tudo atrasado e em cima da hora . Ontem saiu o resuiltado final e HJ as 14 Hs reunião com as diretrizes para a viagem (uma Po...de coisas para providenciar. Minha filha passou no ENEM 1a opção Direito UFRJ (Rio de Janeiro) , isso também tá me tomando tempo. Abraço.
Isso chama-se "mancada". O bom é que o Otavinho já tem uma resol. correta. Quando tiver tempo vou me "elocubrar" em cima dessa minha teoria , acho que o caminho é válido.
Tô atarefado demais. Meu filho(FernandoPP) viaja sábado para Angra dos Reis(CN). Esses marinheiros tinham que aprender com o Exército , tudo atrasado e em cima da hora . Ontem saiu o resuiltado final e HJ as 14 Hs reunião com as diretrizes para a viagem (uma Po...de coisas para providenciar. Minha filha passou no ENEM 1a opção Direito UFRJ (Rio de Janeiro) , isso também tá me tomando tempo. Abraço.
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