Demonstre

por marcelindo3301 Seg 15 Abr 2019, 20:41

Demonstre que sen(pi/5) é igual a

alguem sabe como demonstrar isso ou sabe de algum material na internet que demonstre?

por **Giovana Martins** Seg 15 Abr 2019, 20:47

Isso é bem famoso.

https://www.doraci.com.br/downloads/matematica/pentagono.pdf

por **fantecele** Seg 15 Abr 2019, 21:52

Uma outra forma:

x = 36°
5x = 180°
3x + 2x = 180°
sin(3x) = sin(2x)
3sin(x) - 4sin³(x) = 2.sin(x).cos(x)
3 - 4sin²(x) = 2cos(x)
4cos²(x) - 2cos(x) - 1 = 0

cos(x) = cos(36°) = (1 + √5)/4

cos²(36°) + sin²(36°) = 1

sin(36°) = √(10 - 2√5)/4

por **fantecele** Seg 15 Abr 2019, 22:22

Outra maneira, um tanto quanto mais longa...

As raízes de $\\z^5=1$ são da forma $\\e^{\frac{2ik\pi}{5}}$ , com k = 0,...,4.

Tirando a raiz "obvia":

$\\1+z+z^2+z^3+z^4=0$

Fazendo $\\w=e^{\frac{2i\pi}{5}}$ , temos que:

$\\1+w+w^2+w^3+w^4=0$

E ainda, temos que $\\w^4=w^{-1},w^3=w^{-2}$ , dessa forma:

$\\1+w+w^2+w^{-2}+w^{-1}=0\\1+w+w^{-1}+w^2+w^{-2}=0$

Perceba que:

$\\w+w^{-1} = 2cos\left ( \frac{2\pi}{5} \right )=k\\\\w^2+2+w^{-2}=k^2\\w^2+w^{-2}=k^2-2\\\\$

Dessa forma:

$\\1+w+w^{-1}+w^2+w^{-2}=0\\1+k+k^2-2=0\\k^2+k-1=0\\\\k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\cos\left ( \frac{2\pi}{5} \right )=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

Agora, perceba que cos(72°) = sin(18°) e que cos(36°) = 1 - 2sin²(18°), daqui você encontra o valor de cos(36°), depois basta aplicar cos²(36°) + sin²(36°) = 1, encontrando assim, o valor para sin(36°).

por marcelindo3301 Ter 16 Abr 2019, 15:03

Valeu!

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