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Desafios F.A. 20

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Mensagem por Anderson_007 Sab 08 Jun 2013, 22:39

(Ásia-Pacífico) Se a, b e c são reais positivos, prove que


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Mensagem por Luck Seg 10 Jun 2013, 22:16

Spoiler:
(1 + a/b) (1 + b/c)(1 + c/a) = (a+b)(b+c)(a+c)/abc
usando M.A ≥ MG:
a+b ≥ 2√ab (I)
b+c ≥ 2√bc (II)
a +c ≥ 2√ac (III)
multiplicando (I),(II),(III): (a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc
Entao temos que o lado esquerdo da expressão é ≥ 8.
M.A ≥ M.G : a+b+c ≥ 3∛(abc) ∴ ∛(abc) ≤ (a+b+c) / 3 , o lado direito da expressão será máximo quando o denominador for mínimo, ou seja ∛(abc) = (a+b+c)/3 ; l.e : 2 ( 1 + 3 ) = 8
Logo (1 + a/b) (1 + b/c)(1 + c/a) ≥ ( 1 + [(a+b+c)/∛(abc)] ) , c.q.d
edit: reparei que minha solução está errada, ∛(abc) = (a+b+c)/3 quando o denominador for máximo Neutral, se tiver alguma ideia a partir desse caminho poste..
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Mensagem por Anderson_007 Ter 11 Jun 2013, 10:37

Tenho outra resolução, mas achei que autor "voou" muito nessa resolução, ele pensou numa ideia bem interessante que 2/3 + 1/3 = 1 kkk por isso postei a questão para conseguir uma resolução mais fácil. Vou analisar melhor seu método e ver se consigo aproveitar algo dele para resolver a questão =)

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