Geometria

Num retângulo ABCD , seja E o ponto médio do lado CD . A reta que passa por B e é perpendicular à reta que passa por A e E a intercepta no ponto F . Se AB = 9cm e BC = 6cm , a medida do segmento CF é igual a :

a) 2cm
b) 3cm
c) 4cm
d) 6cm
e) 9cm

Spoiler:

Seja BÂF = α ----> DÊA = α ----> CÊF = 180º - α

DE = 9/2 ----> tgα = AD/DE ----> tgα = 6/(9/2) ----> tgα = 4/3 ---> senα = 4/5 ----> cosα = 3/5

AE² = AD² + DE² ----> AE² = 6² + (9/2)² ----> AE = 15/2

tgα = BF/AF ----> 4/3 = BF/AF ----> BF = (4/3).AF

AF² + BF² = AB² ----> AF² + (4/3)².AF² = 9² ----> AF = 27/5

EF = AE - AF ----> EF = 15/2 - 27/5 ----> EF = 21/10

Lei dos cossenos no triângulo EFC ----> CF² = EF² + CE² - 2,EF.CE.cosCÊF ---->

CF² = (21/10)² + (9/2)² - 2.(21/10).(9/2).cos(180º - α) ---> CF² = 441/100 + 81/4 - (189/10).(-cosα) ---->

CF² = 441/100 + 2025/100 - (189/10).(- 3/5) ----> CF² = 441/100 + 2025/100 + 567/50 ---->

CF² = 441/100 + 2025/100 + 1134/100 ----> CF² = 3600/100 ----> CF = 6 ----> Alternativa D

Entendi , obrigado Elcioschin .