funções logarítmicas

por Jônatas Arthur De F. L. Sex 15 Mar 2013 - 12:13

Considere a soma:

log(3/2) + log(4/3) + log(5/4) + ... + log[n/(n-1)], em que n é um número natural. O menor valor de n para o qual S > 1 é:

a) 20
b) 21
c) 22
d) 25
e) 29

Spoiler:

por **aryleudo** Sex 15 Mar 2013 - 13:02

Jônatas Arthur De F. L. escreveu:Considere a soma:

log(3/2) + log(4/3) + log(5/4) + ... + log[n/(n-1)], em que n é um número natural. O menor valor de n para o qual S > 1 é:

a) 20
b) 21
c) 22
d) 25
e) 29
Spoiler:

Simplificando a soma S:

$\\S = \log \left (\frac{3}{2} \right )+\log \left (\frac{4}{3} \right )+\log \left (\frac{5}{4} \right ) + \cdots +\log \left (\frac{n}{n-1} \right ) \\S = \log \left (3 \right )-\log \left (2 \right )+\log \left (4 \right )-\log \left (3 \right )+\log \left (5 \right )-\log \left (4 \right )+\cdots +\log \left (n \right )-\log \left (n-1 \right )\\ \boxed{S = - \log \left (2 \right )+\log \left (n \right )}$

Note que S > 1. Assim temos:

$\\S > 1 \Leftrightarrow - \log \left (2 \right )+\log \left (n \right )> 1 \\ \log \left (n \right )> 1 + \log \left (2 \right ) \Rightarrow \log \left (n \right )> \log \left (10 \right ) + \log \left (2 \right )\\ \log \left (n \right )> \log \left (20 \right ) \hspace{30} (\text{Elevando ambos os membros a 10}) \\ 10^{\log \left (n \right )}> 10^{\log \left (20 \right )} \Rightarrow \boxed{ n > 20}$

por Jônatas Arthur De F. L. Sex 15 Mar 2013 - 13:15

Eu fiz assim, mestre... O gabarito deve está errado! Qualquer mudança de pensamento eu posto aqui! Muito obrigado!

por **aryleudo** Sex 15 Mar 2013 - 15:38

Jônata o gabarito está correto.

A sua interpretação é que não foi adequada e eu não expliquei (perdão).

Note que: ...n é um número natural. O menor valor de n para o qual S > 1 é...

Desse modo, o menor natural que com que S > 1 é n = 21 (Na resposta n > 20). Ok?

por Jônatas Arthur De F. L. Sex 15 Mar 2013 - 18:54

Está corretíssimo... Eu que não prestei atenção por um momento e desviei o foco, achei que "n" era natural maior que 20 e desprezei o que pedia a questão... Só isso... Mas agradeço muito a paciência e a ajuda! Smile

por **aryleudo** Sáb 16 Mar 2013 - 23:14

Sem problemas!!! Very Happy

por lucas.aalmeida2000@yahoo. Sáb 18 Fev 2017 - 20:52

Estou começando estudar logarítimos agora,será que tem como alguém me explicar de onde surgiu S= -log(2)+log(n)? Pois fiz as operações mas não cheguei a esse valor,sabendo que eu so consegui cortar o log3 e o log4