Números e algarismos

por Igor Bragaia Qua 06 Fev 2013, 20:56

Considere um número de 4k algarismos escrito em base decimal justapondo-se 1999 k vezes; ex: 199919991999............1999.
Mostre que um desses números é divisível por 1999. ( 1999 não vale)

Não tenho a resposta

por **Euclides** Qua 06 Fev 2013, 21:55

$\\19991999\div1999=10001\\199919991999\div1000=100.010.001\\1999199919991999\div1999=1.000.100.010.001$

todos eles são

$\\4545\div45=101\\123123\div123=1001\\\\xyxy\div xy=101\\xyzxyz\div xyzxyz=1001$

por quê?

$\\xyxy=100xy+xy=xy(101)\\xyxyxy=10000xy+100xy+xy=xy(10101)$

por Igor Bragaia Qua 06 Fev 2013, 22:11

Euclides, eu entendi a sua mensagem, mas não entendi como isso prova a hipótese do enunciado

por **Euclides** Qua 06 Fev 2013, 22:20

Talvez eu não tenha entendido o que está sendo desejado:

199919991999............1999.
Mostre que um desses números é divisível por 1999. ( 1999 não vale)

todos eles: 19991999, 199919991999, 1999199919991999, .... são divisíveis por 1999

por **ramonss** Qua 06 Fev 2013, 22:25

O que o Euclides fez foi, especialmente com o número da questão:

199919991999....1999
4k algarismos:

$\\N=199919991999...1999=1^{4k-1}+9^{4k-2}+9^{4k-3}+...+9\\\\N=1999.10^{4k-5}+1999.10^{4k-9}+...+1999 \\\\N={\color{Red} 1999}(10^{4k-5}+10^{4k-9}+...+1)$

por Igor Bragaia Qua 06 Fev 2013, 22:31

Ramon e Euclides, ainda não entendi a resolução do problema. Ramon dá pra vc dar uma explicada no que vc fez na decomposição do número N ?

por **Euclides** Qua 06 Fev 2013, 22:55

por **ramonss** Qua 06 Fev 2013, 23:04

Tipo, olha o número 987654321

$\\\small{ 987654321\quad \text{ BASE DECIMAL, entao isso pode ser escrito assim:}}\\\\\small{9.10^{8}+8.10^7+7.10^6+...+2.10 + 1,\quad \text{ de fato, veja que:}}\\\\\small{900000000 + 80000000 + 7000000+600000+50000+4000+300+20+1=987654321}$

Eu fiz uma analogia do exemplo acima com o caso do exercício.