Aprendendo a derivar - uma aplicação (3)
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Aprendendo a derivar - uma aplicação (3)
O que foi mostrado até agora é, como faz parte da nossa proposta, apenas uma instrumentalização com poucos aspectos teóricos voltada essencialmente para operacionalizar o uso dessas ferramentas em aplicações de exercícios.
Faremos aqui, então, uma pausa na evolução do estudo das derivadas para conhecer alguma aplicação prática. Vamos examinar o Movimento Unifromemente Variado à luz desse conhecimento novo.
Vamos considerar um móvel que no momento em que começa a ser observado possui uma velocidade inicial e está, num dado referencial, numa posição e possui uma aceleração que faz variar sua velocidade em , isto é, soma mais a m/s à sua velocidade, a cada segundo que passa.
O que desejamos é poder conhecer suas novas posições a cada momento dado. Onde ele estará, decorridos t segundos. Já que as posições são progressivas na trajetória é de se esperar que a cada segundo uma distância adicional seja somada à sua posição original.
A sua velocidade inicial, se fosse constante somaria uma distância na forma:
e os acréscimos de velocidade providos pela aceleração somam
Essa expressão é velha conhecida de todo aluno de física desde o primeiro semestre do nível médio. Já sabemos que é uma função do segundo grau (que descreve uma parábola) na variável tempo, sendo os demais elementos todos constantes. Uma função do segundo grau é derivável. Vamos derivá-la então e ver o que encontramos:
de acordo com as regras de derivação que conhecemos: a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma potencia da variável é . Prosseguindo,
conhecemos essa expressão!! É a equação da velocidade no MUV. Concluímos que
a derivada dos espaços em função do tempo é a velocidade em função do tempo. Se lembrarmos do significado dessa derivada perceberemos que a expressão da velocidade fornece as inclinações das tangentes à parábola a cada instante.
A velocidade é uma expressão do primeiro grau e ainda podemos derivá-la. Isso nos conduzirá a uma segunda derivada a partir do espaço.
novamente encontramos uma conhecida: a aceleração.
_____________________________________________
Isso amplia enormemente a nossa competência no estudo dos movimentos.
_____________________________________________
Sabendo-se que uma partícula descreve um movimento cujas posições variam de acordo com a expressão
podemos agora encontrar sua velocidade e aceleração a cada instante.
O movimento ainda é variado, mas não é mais uniforme e mesmo assim agora já temos competência para lidar com ele.
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Para treinar:
Uma partícula se move de acordo com a equação (SI), encontre, no instante t=2:
a) sua posição
b) sua velocidade
c) sua aceleração
Faremos aqui, então, uma pausa na evolução do estudo das derivadas para conhecer alguma aplicação prática. Vamos examinar o Movimento Unifromemente Variado à luz desse conhecimento novo.
Vamos considerar um móvel que no momento em que começa a ser observado possui uma velocidade inicial e está, num dado referencial, numa posição e possui uma aceleração que faz variar sua velocidade em , isto é, soma mais a m/s à sua velocidade, a cada segundo que passa.
O que desejamos é poder conhecer suas novas posições a cada momento dado. Onde ele estará, decorridos t segundos. Já que as posições são progressivas na trajetória é de se esperar que a cada segundo uma distância adicional seja somada à sua posição original.
A sua velocidade inicial, se fosse constante somaria uma distância na forma:
e os acréscimos de velocidade providos pela aceleração somam
Essa expressão é velha conhecida de todo aluno de física desde o primeiro semestre do nível médio. Já sabemos que é uma função do segundo grau (que descreve uma parábola) na variável tempo, sendo os demais elementos todos constantes. Uma função do segundo grau é derivável. Vamos derivá-la então e ver o que encontramos:
de acordo com as regras de derivação que conhecemos: a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma potencia da variável é . Prosseguindo,
conhecemos essa expressão!! É a equação da velocidade no MUV. Concluímos que
a derivada dos espaços em função do tempo é a velocidade em função do tempo. Se lembrarmos do significado dessa derivada perceberemos que a expressão da velocidade fornece as inclinações das tangentes à parábola a cada instante.
A velocidade é uma expressão do primeiro grau e ainda podemos derivá-la. Isso nos conduzirá a uma segunda derivada a partir do espaço.
novamente encontramos uma conhecida: a aceleração.
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Isso amplia enormemente a nossa competência no estudo dos movimentos.
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Sabendo-se que uma partícula descreve um movimento cujas posições variam de acordo com a expressão
podemos agora encontrar sua velocidade e aceleração a cada instante.
O movimento ainda é variado, mas não é mais uniforme e mesmo assim agora já temos competência para lidar com ele.
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Para treinar:
Uma partícula se move de acordo com a equação (SI), encontre, no instante t=2:
a) sua posição
b) sua velocidade
c) sua aceleração
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Aprendendo a derivar - uma aplicação (3)
Euclides, essa parte do fórum superou minhas expectativas.
Não imaginava que ficaria tão organizado. Está ficando muito bom.
Não imaginava que ficaria tão organizado. Está ficando muito bom.
Leonardo Sueiro- Fera
- Mensagens : 3220
Data de inscrição : 28/06/2012
Idade : 31
Localização : Santos
Re: Aprendendo a derivar - uma aplicação (3)
Obrigado Leonardo,
organização é essencial. Didatismo, você (que é bem didático) sabe que exige planejamento mental e, é uma tarefa obrigatória quando se tenta passar idéias.
Estou tentando um meio de operacionalizar rapidamente com objetivos bem práticos esses assuntos. A ideia essencial é fornecer ferramentas que possam ser usadas em curto prazo.
Toda a teoria, que é muito mais extensa do que isso, fica por conta de um curso regular, numa faculdade.
organização é essencial. Didatismo, você (que é bem didático) sabe que exige planejamento mental e, é uma tarefa obrigatória quando se tenta passar idéias.
Estou tentando um meio de operacionalizar rapidamente com objetivos bem práticos esses assuntos. A ideia essencial é fornecer ferramentas que possam ser usadas em curto prazo.
Toda a teoria, que é muito mais extensa do que isso, fica por conta de um curso regular, numa faculdade.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
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