Aprendendo a derivar - Máximos e Mínimos (5)

Acabamos de descobrir que a derivada primeira de uma função parece ser uma boa ferramenta para encontrar máximos e mínimos das funções em geral.

Restam duas dificuldades a superar: como distinguir um máximo de um mínimo se em ambos a inclinação da reta tangente é zero? Ou, serão esses os dois únicos casos em que a inclinação da reta tangente é nula?

Mais uma vez usaremos um gráfico de função. Seja a função y=x³+2



essa função do terceiro grau tem uma inflexão (mudança de concavidade) no ponto (0, 2). Nesse ponto uma tangente à curva é horizontal. O ponto não encerra máximo ou mínimo da função.

Bem, a verdade é que uma função pode admitir uma reta tangente horizontal em tres tipos de pontos:

- um máximo (local ou global)
- um mínimo (local ou global)
- um ponto de inflexão

Esses pontos são chamados de Pontos Críticos de uma função.

Se desejamos avaliar os pontos críticos de uma função precisamos:

1. Verificar a sua existência. Se f'(x)=0 possuir uma ou mais raízes reais (a, b, c, etc) existirão tantos pontos críticos quantas forem as raízes encontradas.

2. Verificar a natureza do ponto crítico. Para isso procuramos a derivada segunda da função, f''(x):

2.1 se f''(a) > 0 então o ponto crítico é um mínimo da função.
2.2 se f''(a) < 0 então o ponto crítico é um máximo da função.
2.3 se f''(a) = 0 então o ponto crítico é uma inflexão da função.

Um exemplo:

um ponto material desloca-se percorrendo uma trajetória dada por . Se ele partiu da posição x=2m, calcule a maior distância em que ele se afastará do eixo horizontal antes de alcançar a posição x=8m.

1. calculando a derivada primeira:



2. procurando pontos críticos



há dois pontos críticos e ambos estão compreendidos no intervalo [2, 8[

3. Avaliando os pontos críticos



resta saber qual dos dois está mais distante do eixo y, isto é, qual tem maior ordenada em módulo (famos em distância)



logo, a maior distância ocorre no ponto de mínimo, para x=7,4m

Solução gráfica para verificação



________________________________________________________
O essencial para um uso ferramental das derivadas já está contido nos artigos até aqui. Novas exposições poderão ser feitas para alcançar algum aprofundamento.
________________________________________________________

PS: se você tiver dúvidas sobre o que aqui foi exposto, coloque-as como questões na seção Iniciação ao Cálculo, do fórum.
_____________________________________________________________