complexos
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complexos
por dlemos Qui 22 Nov 2012, 22:53
As seis soluções da equação z^6+z^3+1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e
argumentos distintos.
O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo (pi/2,pi).Determine a medida de θ:
argumentos distintos.
O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo (pi/2,pi).Determine a medida de θ:
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Re: complexos
por aprentice Sex 23 Nov 2012, 02:44
y = z^3
y² + y + 1 = 0 => y = (-1 +- isqrt(3))/2
Logo: y = cis(+-2pi/3)
z^3 = y => z = cis((+-2pi + 6kpi)/9), k = 0,1,2
Mas pi/2 <= o <= pi:
9pi/2 <= 2pi + 6kpi <= 9pi => 5pi/2 <= 6kpi <= 7pi
k = 1 é solução inteira.
9pi/2 <= -2pi + 6kpi <= 9pi => 13pi/2 <= 6kpi <= 11pi
Sem solução inteira.
Donde segue:
o = 8pi/9
y² + y + 1 = 0 => y = (-1 +- isqrt(3))/2
Logo: y = cis(+-2pi/3)
z^3 = y => z = cis((+-2pi + 6kpi)/9), k = 0,1,2
Mas pi/2 <= o <= pi:
9pi/2 <= 2pi + 6kpi <= 9pi => 5pi/2 <= 6kpi <= 7pi
k = 1 é solução inteira.
9pi/2 <= -2pi + 6kpi <= 9pi => 13pi/2 <= 6kpi <= 11pi
Sem solução inteira.
Donde segue:
o = 8pi/9
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Re: complexos
por dlemos Sex 23 Nov 2012, 14:50
muito obrigado aprentice, mas não consegui entender, como voce fez a raiz cubica de cis(+-2pi/3).Poderia me explicar por favor?
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Re: complexos
por aprentice Sex 23 Nov 2012, 15:27
Fórmula de Moivre:
cis((+-2pi/3 + 2kpi)/3)
Explicando:
cis(+-2pi/3) = cis(+-2pi/3 + 2kpi) para qualquer k inteiro, já que o periodo das funções trigonométricas seno e coseno é 2pi.
Da representação exponencial de um complexo:
cis(o) = e^io => cis(o)^1/3 = e^io/3 = cis(o/3)
Então:
cis((+-2pi + 6kpi)/3)^1/3 = cis((+-2pi + 6kpi)/9)
Note que como o periodo é 2pi a partir de k = 3 os valores passam a se repetir.
cis((+-2pi/3 + 2kpi)/3)
Explicando:
cis(+-2pi/3) = cis(+-2pi/3 + 2kpi) para qualquer k inteiro, já que o periodo das funções trigonométricas seno e coseno é 2pi.
Da representação exponencial de um complexo:
cis(o) = e^io => cis(o)^1/3 = e^io/3 = cis(o/3)
Então:
cis((+-2pi + 6kpi)/3)^1/3 = cis((+-2pi + 6kpi)/9)
Note que como o periodo é 2pi a partir de k = 3 os valores passam a se repetir.
Última edição por aprentice em Sex 23 Nov 2012, 16:18, editado 1 vez(es)
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