CN 2013 - álgebra

por **raimundo pereira** Dom Nov 04 2012, 16:25

Seja a³b - 3a² - 12b² + 4ab³=287. Considere que a e b são números naturais e que ab>3. Qual é o maior valor natural possivel para a expressão a+b ?
a)7 - Gab
b)11
c)13
d)17
e)19

Att

por **Medeiros** Dom Nov 04 2012, 17:25

Seja a³b - 3a² - 12b² + 4ab³=287.

a²(ab - 3) + 4b²(ab - 3) = 287
(ab-3) (a²+4b²) = 7.41

primeira possibilidade:
ab - 3 = 7 -----> b = 10/a

a² + 4b² = 41
a² + 400/a² = 41
a⁴ - 41a² + 400 = 0 ....................... (a² = t)
t² - 41t + 400 = 0
D = 1681 - 1600 = 81
t = (41±9)/2
--> t = 25 -----> a = ±5 -----> b = ±2 --------> máximo (a+b)=7
--> t = 16 -----> a = ±4 -----> b = ±5/2 -----> máximo (a+b) = 6,5

segunda possibilidade:
ab - 3 = 41 -----> b = 44/a

a² + 4b² = 7
a² + 7744/a² = 7
a⁴ -7a² + 7744 = 0 ............ sem raízes reais porque D<0

portanto, máximo a+b=7

por **raimundo pereira** Dom Nov 04 2012, 18:23

Vlw! Medeiros . Bem resolvido . Não consegui ver a fatoração do 287. grt

por **JOAO [ITA]** Dom Nov 04 2012, 18:29

Como a.b>3, vem que ambos os membros da igualdade devem ser números naturais positivos.

Agora podemos usar a desigualdade das médias:

E seguimos com o seguinte desenvolvimento:

Portanto, a partir do resultado inicial, podemos obter o seguinte sistema:

Substituindo a primeira equação na segunda, tem-se:

Assim, temos os seguintes pares de soluções:

{a=4 e b=2,5} ou {a=5 e b=2}.

Sendo assim, a maior soma a+b ∈ ℕ é: a+b = 5+2 = 7.

Enviei em cima da hora...

por **raimundo pereira** Dom Nov 04 2012, 18:36

Obrigado Joao {Ita} - outra alternativa usando a desigualdade das médias. grt

por **JOAO [ITA]** Dom Nov 04 2012, 19:09

Adendo: Demonstração da desigualdade das médias para o caso n = 2.

A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.

Demonstração:

Hipótese:

Como x1 e x2 são reais, podemos ter a seguinte desigualdade:

C.Q.D

A primeira parte esta demonstrada (essa parte que foi usada no exercício acima).

Para demonstrar a segunda parte, partirei do último resultado obtido na primeira parte: