Determinantes

(Unicamp - SP)

Seja a um número real e seja:

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/det5.jpg

a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.


Eu peguei a resolução a letra A, e não entendi uma série de coisas, COMO a utilização do 'i' no resultado das raízes.
Já na letra B, não entendi o que ele quer, para que eu resolva.

Por favor, alguém pode me ajudar de forma claro nos cálculos?

temos:

...............| (3-x)....... -1.........\/2 |
p(x) = det | 0...........(a-x)........ -1 |
...............| 0..............4.......(1-x) |

a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0

...............| (3-x)....... -1.........\/2 |
p(x) = det | 0...........(1-x)........ -1 |= (3-x)(1-x)(1-x) + 4(3-x) = 0
...............| 0..............4.......(1-x) |

(3-x)*[(1-x)² + 4 ] = 0

(3-x) = 0 -> x = 3

ou

(1-x)² + 4 = 0

1 + x² - 2x + 4 = 0

x² - 2x + 5 = 0

.............._____...................___..................._______
......2 ± \/4 - 20..........2 ± \/-16..........2 ± \/16*(-1)
x = ---------------- = -------------- = ------------------
............2............................2....................2

................__
.....2 ± 4*\/-1
x = ------------ = 1 ± 2*i
..........2

x' = 1 + 2*i

x'' = 1 - 2*i


b) Encontre os valores de "a" para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.


...............| (3-x)....... -1.........\/2 |
p(x) = det | 0...........(a-x)........ -1 |= (3-x)(a-x)(1-x) + 4(3-x) = 0
...............| 0..............4.......(1-x) |


(3-x)*[(a-x)(1-x) + 4 ] = 0

(3-x) = 0 -> x = 3

ou

(a-x)(1-x) + 4 = 0

a - ax - x + x² + 4 = 0

x² - ( a + 1 )x + 4 = 0

....................__________
.......(a+1) ± \/(a+1)² - 16
x = ------------------------
....................2

para termos um único valor para x devemos ter ∆ = 0

(a+1)² - 16 = 0

a² + 2a + 1 - 16 = 0

a² + 2a - 15 = 0

.................______...................__
......- 2 ± \/4 + 60........ - 2 ± \/64
a = ---------------- = --------------
............2...........................2

a' = (- 2+8 )/2 = 3

a'' = ( -2 - 8 )/2 = - 5

Olá, gostaria de apontar o erro do mestre na letra b). Na parte:


(a-x)(1-x) + 4 = 0

a - ax - x + x² + 4 = 0

x² - ( a + 1 )x + 4 = 0


erro de colocar em evidência que comprometeu o resultado final da conta, note que o mestre esqueceu do a . Segue:


a-ax-x+x²+4=0


x²-(a+1)x+4+a=0


x= -(a+1)±√a²+2a+1-4.1(4+a)

para termos um único valor em x devemos ter ∆ =0

a²+2a+1-4a-16=0

a²-2a-15=0

a=(2 ±√4+60)/2

a'=(2+/2=5

a"=(2-/2=-3

Obrigado por toda ajuda até aqui!! Tenho aprendido muito com esse fórum!!