Diagonal paralelogramo

por puiff Sex 19 Out 2012, 16:12

Num paralelogramo, a medida de um lado é um terço da medida do lado consecutivo e o perímetro é 128. Determine os comprimentos das diagonais, se o ângulo agudo que elas formam é de 30°.

gabarito: $\frac{16\sqrt{6}}{3}\left [ \sqrt{15-\sqrt{33}} \right ]\wedge \frac{16\sqrt{6}}{3}\left [ \sqrt{15+\sqrt{33}} \right ]$

por **raimundo pereira** Sex 19 Out 2012, 19:12

Puiiff,
Vejo uma alternativa bem trabalhosa.
Se um lado é um terço do outro e o perímetro é 128 , temos :
2a+a/3+a/3=128 a=48 e o outro lado a/3=48/3=16.
As diagonais forma ângulos: agudo de 30° oposto ao lado de 16
e ângulo obtuso de 150°. Oposto ao lado de 48.

Fazendo a figura dá para ver os triângulos:
I - com lados D/2 ,d/2, 16 e ângulo de 30°
II - com lados D/2, d/2 e 48 e ângulo de 150°
Considerando D - diagonal maior e d - diagonal menor
Aplicando a Lei dos cossenos, e resolvendo o sistema creio que chegaremos aos valores de d e D.

Att

por **raimundo pereira** Sex 19 Out 2012, 19:19

por puiff Sáb 20 Out 2012, 10:08

Olá Raimundo, realmente está sendo meio trabalhoso encontrar o resultado, estou encontrando um número bem estranho, diferente ao do resultado, não estou conseguindo fazer com que o "d" e o "D" desapareçam Neutral

por **raimundo pereira** Sáb 20 Out 2012, 11:51

Olá Puiif
Como imaginei é complicado. Teoricamente é um sistema de duas equações com duas incógnitas , mais difícil de resolver. Encontrei a relação D²+d²=4580, aplicando a Lei dos cossenos e somando membro a membro as equações . Tente isolar o D² e substituir em uma das equações . Se não chegar ao resultado é melhor aguardar e ver se algum colega apresenta uma solução.

Att

por puiff Sáb 20 Out 2012, 11:56

Certo, farei isso, obrigada Raimundo!

por **raimundo pereira** Sáb 20 Out 2012, 12:03

Ainda pesquisarei outra solução . É que hj estou com pouco tempo.
Att

por **adriano tavares** Sáb 20 Out 2012, 18:41

Olá, puiff.

Para evitar frações vou chamar a diagonal AC de 2D e a diagonal menor de 2d.

Aplicando o teorema dos cossenos teremos:

$(48)^2=D^2+d^2-2Dd.cos150^\circ \Rightarrow D^2+d^2+\sqrt{3}Dd=2304$

$(16)^2=D^2+d^2-2Ddcos30^\circ \Rightarrow D^2+d^2- \sqrt{3}Dd=256$

Vamos utilizar um artifício para escrever D²+d² de outra maneira, vejamos;

$D^2+d^2=(D+d)^2-2Dd$

Utilizando incógnitas auxiliares podemos escrever:

$D+d=a\\\\Dd=b$

$(D+d)^2-2Dd+\sqrt{3}Dd=2304\\\\a^2-2b+\sqrt{3}b=2304$

$(D+d)^2-2Dd-\sqrt{3}Dd=256 \\\\a^2-2b-\sqrt{3}b=256$

Vou deixar para você resolver esse sistema.