Intervalo de "n" que tornam as raízes da equação distintas e >0.

Os valores de "n" pertencente aos Reais tais que a equação (2-n)x^2+ 2nx + n + 2 = 0 tenham duas raizes reais distintas e maiores que zero devem pertencer ao intervalo:

A) (-v2 , v2) B) (-infinito, -v2)União(v2, +infinito) C) (-2, -v2) D) (v2, 2)

E) (-2, 2)



Bom pessol, quanto a resolução deste exercício, vou contar pra vocês o que eu já fiz.

Identifiquei que se trata de uma equação do segundo grau, portanto os coeficientes são a= (2-n) b=2n 2 c = (n+2)

Como queremos duas raizes reais e distintas, admitiremos que Delta deve ser maior que zero, resolvendo a expressão Delta, encontraremos dois valores de n, são eles:

n` = v2

n`` = -v2

Pois bem, ai é que começa meu problema, identificar qual o intervalo a que "n" deve pertencer para que as raízes desta equação, sejam além de distintas, positivas.

Ví uma resolução onde foi dito a seguinte afirmação:

"para que as raízes desta equação sejam maiores que zero, o produto e a soma entre elas, também devem ser."

Concordando com esta informação, tentei caminhar.

S = -b/2a S = -2n/2-n>0

P = c/a P = n+2/2-n>0



Mais não consigo sair daqui, não caminho.....

Observei que a resolução da pessoa que comentei acima, diz o seguinte, depois de resolver, "não sei como" as inequações acima:

Soma ele encontrou n<0

Produto ele encontrou n>-2

Com isto ele concluí que a resposta é que "n" deve pertencer ao intervalo (-2, -v2)!



É este o ponto amigos, não consigo entender o que este cara fez, me confundi e atrapalhei todo no momento que apareceram as inequações que fora,m geradas com as expressões de Soma e Produto.

Se puderem me orientar, agradeço!

Para que a equação tenha raízes distintas: ∆ > 0

Para que as raízes da equação sejam distintas e maiores que zero: 0 < x' < x''

f(x) = (2-n)x^2+ 2nx + n + 2

a = (2-n)
b = 2n
c = n + 2

A resposta é a interseção de três condições:

1ª) a x f(0) > 0 {condição para que o 0 não esteja entre as raízes}
2ª) ∆ > 0 {dois zeros distintos}
3ª) (x' + x'')/2 > 0 {condição para que o 0 esteja à esquerda das raízes}

Desenvolvendo:

1ª) f(0) = n + 2
a x f(0) > 0 ⇒ (2 - n)(n + 2) > 0 ⇒ 4 - n² > 0 ⇒ n² < 4 ⇒ -2 < n < 2

2ª) ∆ > 0 ⇒ (2n)² - 4(2 - n)(n + 2) > 0 ⇒ 4n² + 4n² - 16 > 0 ⇒ 8n² > 16 ⇒ n² > 2 ⇒ n > √2 ou n < -√2

3ª) (x' + x'')/2 > 0 {relação de Girard: soma das raízes = -b/a}
Então fica, -b/2a > 0 ⇒ -2n/[2(2 - n)] > 0 ⇒ -2n/(4-2n) > 0 ⇒ -2n > 0 ⇒ n < 0

Fazendo a interseção dos intervalos de cada condição: ]-2 ; -√2[

Olá Cesconeto, muito obrigaod pela sua resposta, foi realmente bem esclarecedora, e me trouxe a luz sobre coisas que sequer imaginava que deveria analisar.

Pois bem, ainda me persiste uma dúvida, a condição I)

1ª) f(0) = n + 2
a x f(0) > 0 ⇒ (2 - n)(n + 2) > 0 ⇒ 4 - n² > 0 ⇒ n² < 4 ⇒ -2 < n < 2


Por que você multiplicou o coeficiente a pelo c? O que esta multiplicação implica em uma função quadrática?

Não sei se estou errado, mais pelo que entendi é que para quaisquer valores fora deste intervalo -2< n < 2, a função se igualará a zero? é isto?

A notação a x f(0)?

Grato!

O "c" que você diz, é na verdade o f(0).
Se satisfeita a condição ∆ > 0 Para valores fora do intervalo -2 < n < 2, ou o 0 é uma das raízes ou o zero está entre as raízes, o que foge da resposta.

Sendo f(x) = ax² + bx + c

Temos 3 casos a considerar:

a x f(β) < 0 -----> significa que o β está entre as raízes
a x f(β) = 0 -----> significa que o β é uma das raízes
a x f(β) > 0 -----> significa que o β ou é menor que as raízes ou é maior

A questão pede raízes distintas e maiores que zero. Então devemos compará-las ao número 0. No caso, nosso β é 0.

Se fizermos a condição 1, vamos ter uma raiz negativa e outra positiva, pois o número 0 estará entre as raízes.
Se fizermos a condição 2, uma das raízes seria o próprio 0. Como o problema pede raízes maiores que 0, temos que utilizar a condição 3:

a x f(0) > 0 -----> Esta é a condição para que o número 0 não seja uma das raízes e nem que esteja entre as raízes.

Satisfeita essa condição, mostra que das duas uma:

0 < x' < x'' ou x' < x'' < 0

Ou o 0 é menor que as raízes ou é maior que as raízes.

Para que as raízes sejam positivas o 0 tem que estar à esquerda das raízes. Para isso, deve ser satisfeita seguinte condição:

(x' + x'')/2 > 0

Acho que tá meio confuso a explicação, me esforcei mas não saiu um negócio legal. Deu pra entender?

Olá Cesconetto...

Cara, muito boa esta sua explicação, relaxe, nem esquente, você foi bem eficaz na explicação detalhada de cada uma das exigências.

O fato de eu estar patinando para entender esta sua interpretação, se deve e muito, ao fato de eu ser péssimo em analise de funções, minhas dificuldades se dão desde o simples fato da analise de intervalos, que dirá estas exigências mais elaboradas que aqui você propôs.

Me diz uma coisa, essas relãções que você utilizou:

a x f(β) < 0 -----> significa que o β está entre as raízes
a x f(β) = 0 -----> significa que o β é uma das raízes
a x f(β) > 0 -----> significa que o β ou é menor que as raízes ou é maior

Como se chamam? Onde e como posso procurar material para entender um pouco mais sobre elas? Gostaria de saber por que se multiplica o coeficiente a pelo resultado da f(β), onde β é um número dado que é substituido em x.

Também gostaria de saber o por que de cada consequência, ou seja, o I) zero estar entre as raízes , II) ser uma delas, III) ou ser maior ou menor que zero.


Abraços e muito obrigado pelas explicações...

PS.Se por acaso tiver um outro execício parecido com este para poder me enviar, agradeço.

Comparação de um número real com as raízes da equação do 2º grau e estudo do sinal das raízes da equação do 2º grau são os assuntos para resolver questões deste tipo.

Material muito bom sobre isso você encontra no livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1.

Vale apena conferir, ele explica cada detalhe junto com suas demostrações.
Bons estudos.