Onde está meu erro?

Olá galera! por favor me ajudem a achar o meu erro!

Resolva a inequação:

|x² + x -20| <= x² + x -20

Resp: ]-∞ , -5]∪[4,+∞ [

Eu fiz assim:

1° caso:

x² + x -20>= 0

x² + x -20<= x² + x -20 0<=0

2° caso:

x² + x -20<0

-5 < x < 4 *

-(x² + x -20) < x² + x -20

x<-5 ou x>4 **

S = * ∩ **

S = { 5,4}

Onde está meu erro

Obrigada!

|x² + x -20| ≤ x² + x -20

Vamos analisar a função dentro do módulo:
∆ = 1² -4.1.(-20) = 81

x = (-1±9)/2

x = -5
x' = 4

Temos então, uma função com concavidade para cima, com raízes -5 e 4.

Percebe-se que a função é positiva nos intervalos : x>4 ou x<-5 e negativa no intervalo -5

Al. Henrique,

Porque não é necessário fazer a interseção entre -5 < x < 4 e as soluções de x² + x - 20 ≥0, em (II) ?

Que beleza...

Fui editar alguns itens que estavam faltando e apagou 2/3 da minha mensagem.. Muito bom.

Nat,

Realmente me passou desapercebido esse detalhe. Não sei responder sua pergunta, até porque , quando criamos uma condição, acho que devemos fazer a intercessão com a resposta.

Nat',
deveria ter feito a UNIÃO entre eles.

danjr5,

Porque tem que fazer a união entre -5 < x < 4 e as soluções de x² + x - 20 ≥0, no segundo caso??

Eu achava que tinha que fazer a interseção entre os mesmos e a união entre o primeiro e o segundo caso.

Equação I:



Equação II:



Agora sim! Rsrsrs



ou

danjr5,

Eu ainda continuo com dúvida em um aspecto, vou tentar ilustrá-lo com a resolução de outra inequação.

Considere a inequação: |2x -6|> x - 4

Façamos duas hípóteses:

1ª) 2x - 6 >= 0 .:. x>= 3 *

Portanto para x>= 3 temos:

|2x - 6| = 2x - 6

2x - 6 > x -4

x > 2 **

Fazendo a inteseção entre * e ** temos que um primeiro conjunto de valores que satisfazem a inequação proposta é:

A = { x ∈ R | x>= 3 }

2ª) 2x - 6 < 0 .:. x < 3'

Portanto para x < 0 teremos:

|2x - 6|= -2x + 6

Assim a inequação proposta transforma-se em:

-2x + 6 > x - 4 .:. x < 10/3"

Fazendo a interseção entre ' e ", temos que um outro conjunto de valores que satizfaz a inequação é:

B = { x ∈ R | x < 3 }

Assim o conjunto-solução da inequação proposta é : S = A ∪ B = R

Eu achei a resolução dessa inequação no livro: Noções de Matemática - Volume 1 - Conjuntos e funções - editora VestSeller

A minha dúvida está no fato de que porque na inequação |x² + x -20| <= x² + x -20 não é necessário fazer a interseção entre -5 < x < 4 e as soluções de x² + x - 20 ≥0?? É porque a inequação do segundo grau?

danjr5 escreveu:

Dan,

Não concordo com essa sua condição modular.

Devemos analisar os intervalos da função para definir quando o modulo será positivo ou quando será negativo.

Lembrando que :

|x| = x , se x > 0
|x| = -x , se x < 0

Se for uma reta :

|x - k| = x-k , se x > k
|x - k| = -x+k, se x
Devemos sempre analisar o comportamento das funções.