Derivação

por Luís Ter 05 Jun 2012, 19:30

Derive a seguinte função:

Derivação Codecogseqn84

Não tenho gabarito. Essa questão caiu na minha prova hoje.

por **Agente Esteves** Ter 05 Jun 2012, 19:39

Temos que...
$g(x) = x^7 + 4x + \frac{\pi}{4}$
$h(x) = cos x$
$i(x) = x^4$

Então...
$f(x) = i(h(g(x)))$

Isso pode ser derivado pela regra da cadeia. Assim...
$f'(x) = i'(h(g(x))) * h'(g(x)) * g'(x)$
Logo...
$f'(x) = 4 * cos^3(x^7 + 4x + \frac{\pi}{4}) * (- sen (x^7 + 4x + \frac{\pi}{4})) * (7x^6 + 4)$

Eu não sei como seria isso simplificado não... Se tiver como simplificar...

Espero ter ajudado. ^_^

por **Euclides** Ter 05 Jun 2012, 19:47

Muito bom, Raquel! Muita competência com uma regra da cadeia bem longa. Derivadas de funções com potências podem sempre ser resolvidas pela derivada do logarítimo neperiano também:

$\\y=cos^4\left ( x^7+4x+\frac{\pi}{4} \right )\;\;\;\to\;\;\;y=cos^4(u)\;\;\;\;\;\;\;\;u'=7x^6+4\\\\\ln y=4\ln cos(u)\;\;\to\;\;D\ln y=D\left (4\ln cos(u) \right )\\\\\frac{y'}{y}=\frac{-4u'sen(u)}{cos(u)}\;\;\to\;\;y'=\frac{-4yu'sen(u)}{cos(u)}\;\;\to\;\;y'=\frac{-4cos^4(u).u'.sen(u)}{cos(u)}\\\\\\y'=-4u'.cos^4(u).tan(u)\;\;\;ou\;\;\;y'=-4u'.cos^3(u).sen(u)$