Derivação

Mostre que a equação dada tem no máximo uma raiz no intervalo especificado, onde h é constante.

f(x) = x³ - 75x + h = 0, [4; 4];

Obrigada!

O intervalo é [latex] $[-4, 4]$ [/latex]?


Se alguma das raízes, digamos [latex]r[/latex], é no mínimo dupla, então [latex]f(r)=0[/latex] e [latex]f'(r)=0[/latex]. Mas as raízes de [latex]f'[/latex] são [latex]\pm \sqrt{75}[/latex], e nenhuma dessas está no intervalo dado.
Então mesmo que [latex]f[/latex] tenha raiz dupla, elas não estarão no dado intervalo.

Por outro lado, se houvessem duas raizes distintas no intervalo, digamos [latex]r_1 < r_2[/latex], pelo teorema de Rolle existitiria [latex]r_1\leq \overline r \leq r_2[/latex] tal que [latex]f'(\overline r)=0[/latex]. Como vimos, isso não é possível nesse intervalo, então há no máximo uma raiz n intervalo dado.

Isso! O intervalo é  !