Equação Segundo Grau

Para quantos valores reais do número a, a equação x²+ax+6a=0 possui somente raízes inteiras?

Problema bem esquisito

Para as raizes serem inteiras elas devem ser reais ---> ∆ ≥ 0

∆ = a² - 4*1*(6a) ----> ∆ = a² - 24a-----> a² - 24a ≥ 0

A função do 1º membro é uma parábola com a concavidade voltada para cima ----> raízes a = 0 e a = 24

Para a função ser real ----> x ≤ 0 ou x ≥ 24

Além disso, a² - 4a deve ser um quadrado perfeito.

Sem procurar muito achei 5 valores para a:

1) Para a = 0 ----> x = 0 ----> Raiz dupla (inteira)
2) Para a = 24 ---> x = 12 ----> Raiz dupla (inteira)
3) Para x = 25 ---> x = -10 e x = -15 (raízes inteiras)
4) Para x = 27 ---> x = -9 e x = -18 (raízes inteiras)
5) Para a = -1 ---> x = -2 e x = 3 (Raízes inteiras

Nem pensei em procurar mais
Tens certeza do enunciado? Tens o gabarito?

Usando o que o Elcioschin já fez, cheguei numa resposta; fica a critério de vocês o julgamento da sua validade (perceberam que, pela minha resposta, não coloco minha mão no fogo?).

x² + ax + 6a = 0 , com x₁ e x₂ ∈ Z.

lembrando que:
x₁ + x₂ = -a ==> se x₁, x₂ ∈ Z ----> a∈Z.



Para que x seja inteiro (Z), o discriminante deve ser, ao menos, real (R); logo,
a² - 24a ≥ 0 -----> a ≤ 0 ou a ≥ 24 -------------->


Também, para que x seja inteiro (Z), o delta deverá ser um quadrado perfeito, e o será em função de a. Seja k∈Z as vezes que isso pode ocorrer. Então deveremos ter:
a² - 24a = k²a² -----> a²(k²-1) + 24a = 0 -----> a[(k²-1)a + 24] = 0
--> a = 0
--> (k²-1)a = -24 -----> k² = -24/a + 1 ............ com k∈Z e a≠0
Para k∈Z, a deve ser divisor de 24. 24 = 2³.3 ---> 8 divisores.
Então, até agora, as possibilidades para a seriam: -1, -2, -3, -4, -8, -12, -24, +24.
Nesta lista já estão descartadas as possibilidades que ficam no intervalo proibido (0

ATENÇÃO ADMINISTRADOR

Por duas vezes verifico que, após, "enviar" a mensagem (e isso, depois de te-la pré-visualizado) ela sai faltando algo no meio. Nas duas vezes corrigi o que faltava e, assim fazendo, ao novamente enviar, simplesmente apagava tudo dali para baixo; e tornei a reescrever todo o final.

Aconteceu a terceira vez e NÃO pretendo reescrever de novo. Mas gostaria de saber a causa.

Apenas para o Cancho2008 não ficar prejudicado, informo bem resumidamente o final:
a={-8, -3, -1, 0, 24, 25, 27, 32}

Boa noite para todos!

x² + ax + 6a = 0

Encontrei os seguintes valores para "a":
-25, -8, -3, -1, 25, 27, 32 e 49.

Para encontrá-los, fiz:
a² - 24a = k²
a² - 24a - k² = 0

Porque, ao resolver x² + ax + 6a = 0, o delta é igual a a² - 24a, o qual deverá ser quadrado perfeito.
Usando o Excel para encontrar as possíveis raízes da equação supra, tinha para resolver o seguinte:
∆ = √(576 + 4k²)

proveniente da equação resolutiva:
a = [24 ± √(576 + 4k²)]/2

Usando o Excel para pesquisar as possíveis raízes inteiras do discriminante, encontrei as seguintes:
√∆ = 24, 26, 30, 40, 51, 74 e 145
∆ = 576, 676, 900, 1600, 2601,5476 e 21025
4k² = 0, 100, 324, 1024, 2025, 4900 e 20449
k² = 0, 25, 81, 256, —, 1225, — (eliminei os 4k² não divisíveis por 4: 2025 e 20449)

Portanto, poderemos formar as seguintes equações:
a² - 24a - 0 = 0 → raízes: 0 e 24
a² - 24a - 25 = 0 → raízes: 25 e -1
a² - 24a - 81 = 0 → raízes: 27 e -3
a² - 24a - 256 = 0 → raízes: 32 e -8
a² - 24a - 1225 = 0 → raízes: 49 e -25

Colocando em ordem crescente os possíveis valores de a, vem:
a = -25, -8, -3, -1, 0, 24, 25, 27, 32 e 49

Então, ao todo, 10 raízes.

Será que ainda existem outras?







Feliz domingo de Páscoa para todos!

Somente a título informativo, para que possam conferir depois.
Encontrei os seguintes valores para "a" (além dos valores negativos do Medeiros):
0, 24, 25, 26, 30, 40, 51, 74, 145; e mais: 27, 32, 49.

Boa noite Ivomilton.

Dos números novos que você citou, apenas o 49 resulta útil. O que me levou, baseado na simetria, a considerar também o -25.
Porém, não tenho a mínima ideia de como chegar algebricamente a esses dois últimos nºs (49, -25).





Feliz páscoa.

Medeiros escreveu:

Somente a título informativo, para que possam conferir depois.
Encontrei os seguintes valores para "a" (além dos valores negativos do Medeiros):
0, 24, 25, 26, 30, 40, 51, 74, 145; e mais: 27, 32, 49.

Boa noite Ivomilton.

Dos números novos que você citou, apenas o 49 resulta útil. O que me levou, baseado na simetria, a considerar também o -25.
Porém, não tenho a mínima ideia de como chegar algebricamente a esses dois últimos nºs (49, -25).




Feliz páscoa.

Bom dia, Medeiros.

Boa parte dos que citei não eram para serem citados; fiz certo equívoco por aqui.
Já editei e retifiquei.
Pretendi até mesmo excluir meu post, mas já não deu mais tempo (acordei tarde hoje).
Também não saberia lhe dizer como calcular algebricamente.
Eu os encontrei usando o Excel (por isso que apenas coloquei como informativo...)





Feliz Páscoa também.

Medeiros/Ivomilton

Dvido a tudo isto é que, na minha mesagem original, eu achei o enunciado "esquisito"

.

Elcioschin escreveu:Medeiros/Ivomilton

Dvido a tudo isto é que, na minha mesagem original, eu achei o enunciado "esquisito"

.

E eu, em pensamento, concordei contigo desde o início, Elcioschin.
Mas foi esse aspecto esquisito que me desafiou a procurar uma cura -- não achei!

Cancho2008 escreveu:Para quantos valores reais do número a, a equação x²+ax+6a=0 possui somente raízes inteiras?

Uma solução encontrada:

Sendo as raízes  α  e β


[latex]\\\alpha +\beta =-a\\ \alpha \cdot \beta = 6a\\ \therefore \alpha.\beta = -6\alpha-6\beta \implies \alpha\beta +6\alpha +6\beta = 0 \Leftrightarrow \\ \alpha\beta+6\alpha +6\beta+36=36 \implies 6(\alpha+6)+\beta(\alpha+6)=36 \Leftrightarrow \\ (\alpha+6)(\beta+6)=36[/latex]

ASsim nos teríamos os pares ordenados:
(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(−36,−1),(−18,−2),(−12,−3), (-9, -4), (-6-6)


o que nos daria os valores de α  e β:
(−5,30),(−4,12),(−3,6),(−2,3),(0,0),(−42,−7),(−24,−,(−18,−9),(−15,−10),(−12,−12)


E assim os possíveis valores inteiros de a seriam: a=−25,−8,−3,−1,0,24,25, 27, 32, 49
(solução:Anden)